Relación cuasititransitiva

La relación cuasititransitiva x ≤ ⁠5/4⁠ y . Su parte simétrica y transitiva se muestra en azul y verde, respectivamente.

La noción matemática de cuasititransitividad es una versión debilitada de la transitividad que se utiliza en la teoría de la elección social y en la microeconomía . De manera informal, una relación es cuasititransitiva si es simétrica para algunos valores y transitiva en el resto. El concepto fue introducido por Sen (1969) para estudiar las consecuencias del teorema de Arrow .

Definición formal

Una relación binaria T sobre un conjunto X es cuasititransitiva si para todos a , b y c en X se cumple lo siguiente:

${\displaystyle (a\operatorname {T} b)\wedge \neg (b\operatorname {T} a)\wedge (b\operatorname {T} c)\wedge \neg (c\operatorname {T} b)\Rightarrow (a\operatorname {T} c)\wedge \neg (c\operatorname {T} a).}$

Si la relación también es antisimétrica , T es transitiva.

Alternativamente, para una relación T, defina la parte asimétrica o "estricta" P:

${\displaystyle (a\operatorname {P} b)\Leftrightarrow (a\operatorname {T} b)\wedge \neg (b\operatorname {T} a).}$

Entonces T es cuasitransitivo si y sólo si P es transitivo.

Ejemplos

En algunos contextos económicos, se supone que las preferencias son cuasititransitivas (en lugar de transitivas). El ejemplo clásico es el de una persona a la que le es indiferente entre 7 y 8 gramos de azúcar y entre 8 y 9 gramos de azúcar, pero que prefiere 9 gramos de azúcar a 7. ^[1] De manera similar, la paradoja de Sorites puede resolverse debilitando la transitividad supuesta de ciertas relaciones a la cuasititransitividad.

Propiedades

• Una relación R es cuasititransitiva si, y solo si , es la unión disjunta de una relación simétrica J y una relación transitiva P. ^[2] J y P no están determinados de manera única por un R dado ; ^[3] sin embargo, la P de la parte solo si es mínima. ^[4]
• En consecuencia, cada relación simétrica es cuasititransitiva, y también lo es cada relación transitiva. ^[5] Además, una relación antisimétrica y cuasititransitiva es siempre transitiva. ^[6]
• La relación del ejemplo del azúcar anterior, {(7,7), (7,8), (7,9), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8), (9,9)}, es cuasitransitiva, pero no transitiva.
• Una relación cuasitransitiva no necesita ser acíclica : para cada conjunto no vacío A , la relación universal A × A es a la vez cíclica y cuasitransitiva.
• Una relación es cuasititransitiva si, y sólo si, su complemento lo es.
• De manera similar, una relación es cuasititransitiva si, y sólo si, su inversa lo es.

Véase también

• Intransitividad
• Relación reflexiva

Referencias

1. Robert Duncan Luce (abril de 1956). "Semiórdenes y una teoría de la discriminación de utilidad" (PDF) . Econometrica . 24 (2): 178–191. doi :10.2307/1905751. JSTOR  1905751.Aquí: p.179; el ejemplo original de Luce consiste en 400 comparaciones (de tazas de café con diferentes cantidades de azúcar) en lugar de sólo 2.
2. La nomenclatura sigue a Bossert & Suzumura (2009), p.2-3. — Para la parte "solo si" , defina xJy como xRy ∧ yRx , y defina xPy como xRy ∧ ¬ yRx . — Para la parte "si" , suponga que xRy ∧ ¬ yRx ∧ yRz ∧ ¬ zRy se cumple. Luego xPy y yPz , ya que xJy o yJz contradecirían ¬ yRx o ¬ zRy . Por lo tanto xPz por transitividad, ¬ xJz por disyunción, ¬ zJx por simetría. Por lo tanto, zRx implicaría zPx , y, por transitividad, zPy , lo que contradice ¬ zRy . En conjunto, esto prueba xRz ∧ ¬ zRx .
3. Por ejemplo, si R es una relación de equivalencia , J puede elegirse como la relación vacía , o como R mismo, y P como su complemento.
4. Dado R , siempre que xRy ∧ ¬ yRx se cumple, el par ( x , y ) no puede pertenecer a la parte simétrica, sino que debe pertenecer a la parte transitiva.
5. Dado que la relación vacía es trivialmente transitiva y simétrica.
6. La antisimetría de R obliga a J a ser correflexiva ; por lo tanto, la unión de J y la transitiva P es nuevamente transitiva.

• Sen, A. (1969). "Cuasi-transitividad, elección racional y decisiones colectivas". Rev. Econ. Stud . 36 (3): 381–393. doi :10.2307/2296434. JSTOR  2296434. Zbl  0181.47302.
• Frederic Schick (junio de 1969). "La prueba de Arrow y la lógica de la preferencia". Filosofía de la ciencia . 36 (2): 127–144. doi :10.1086/288241. JSTOR  186166. S2CID  121427121.
• Amartya K. Sen (1970). Elección colectiva y bienestar social . Holden-Day, Inc.
• Amartya K. Sen (julio de 1971). "Funciones de elección y preferencia revelada" (PDF) . The Review of Economic Studies . 38 (3): 307–317. doi :10.2307/2296384. JSTOR  2296384.
• A. Mas-Colell y H. Sonnenschein (1972). "Teoremas de posibilidad general para decisiones de grupo" (PDF) . The Review of Economic Studies . 39 (2): 185–192. doi :10.2307/2296870. JSTOR  2296870. S2CID  7295776. Archivado desde el original (PDF) el 2018-04-12.
• DH Blair y RA Pollak (1982). "Reglas de elección colectiva acíclica". Econometrica . 50 (4): 931–943. doi :10.2307/1912770. JSTOR  1912770.
• Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (abril de 2005). Elección racional en dominios arbitrarios: un tratamiento exhaustivo (PDF) (informe técnico). Universidad de Montreal, Universidad Hitotsubashi, Tokio.
• Bossert, Walter; Suzumura, Kotaro (marzo de 2009). "Relaciones cuasitransitivas y consistentes con Suzumura" (PDF) . Social Choice and Welfare (Informe técnico). 39 (2–3). Universidad de Montreal, Universidad de Waseda, Tokio: 323–334. doi :10.1007/s00355-011-0600-z. S2CID  38375142. Archivado desde el original (PDF) el 12 de abril de 2018.
• Bossert, Walter; Suzumura, Kōtarō (2010). Consistencia, elección y racionalidad . Harvard University Press. ISBN 978-0674052994.
• Alan D. Miller y Shiran Rachmilevitch (febrero de 2014). Teorema de Arrow sin transitividad (PDF) (Documento de trabajo). Universidad de Haifa.