Ley del muro

Relación entre la velocidad del flujo y la distancia a la pared

Ley de la pared, velocidad horizontal cerca de la pared con modelo de longitud de mezcla

En dinámica de fluidos , la ley de la pared (también conocida como ley logarítmica de la pared ) establece que la velocidad media de un flujo turbulento en un punto determinado es proporcional al logaritmo de la distancia desde ese punto hasta la "pared", o el límite de la región del fluido . Esta ley de la pared fue publicada por primera vez en 1930 por el matemático , ingeniero aeroespacial y físico húngaro-estadounidense Theodore von Kármán . ^[1] Solo es técnicamente aplicable a partes del flujo que están cerca de la pared (<20% de la altura del flujo), aunque es una buena aproximación para todo el perfil de velocidad de las corrientes naturales. ^[2]

Formulación logarítmica general

La ley logarítmica de la pared es una solución autosimilar para la velocidad media paralela a la pared, y es válida para flujos con números de Reynolds altos , en una región de superposición con tensión cortante aproximadamente constante y lo suficientemente lejos de la pared para que los efectos viscosos (directos) sean insignificantes: ^[3]

${\displaystyle u^{+}={\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+},}$  con y  ${\displaystyle y^{+}={\frac {y\,u_{\tau }}{\nu }},}$   ${\displaystyle u_{\tau }={\sqrt {\frac {\tau _{w}}{\rho }}}}$    ${\displaystyle u^{+}={\frac {u}{u_{\tau }}}}$

dónde

A partir de experimentos, se ha descubierto que la constante de von Kármán es y para una pared lisa. ^[3] ${\displaystyle \kappa \approx 0.41}$ ${\displaystyle C^{+}\approx 5.0}$

Con dimensiones, la ley logarítmica de la pared se puede escribir como: ^[4]

${\displaystyle {u}={\frac {u_{\tau }}{\kappa }}\ln \,{\frac {y}{y_{0}}}\ }$

donde y ₀ es la distancia desde el límite en la que la velocidad idealizada dada por la ley de la pared tiende a cero. Esto es necesariamente distinto de cero porque el perfil de velocidad turbulento definido por la ley de la pared no se aplica a la subcapa laminar . La distancia desde la pared en la que alcanza cero se determina comparando el espesor de la subcapa laminar con la rugosidad de la superficie sobre la que fluye. Para una subcapa laminar cercana a la pared de espesor y una escala de longitud de rugosidad característica , ^[2] ${\displaystyle \delta _{\nu }}$ ${\displaystyle k_{s}}$

Intuitivamente, esto significa que si los elementos de rugosidad están ocultos dentro de la subcapa laminar, tienen un efecto muy diferente en la ley turbulenta del perfil de velocidad de la pared que si sobresalen en la parte principal del flujo.

Esto también se formula a menudo de manera más formal en términos de un número de Reynolds límite, , donde ${\displaystyle Re_{w}}$

${\displaystyle Re_{w}={\frac {u_{\tau }k_{s}}{\nu }}.\ }$

El flujo es hidráulicamente suave para , hidráulicamente rugoso para y transicional para valores intermedios. ^[2] ${\displaystyle Re_{w}<3}$ ${\displaystyle Re_{w}>100}$

Los valores para se dan por: ^{[2] [5]} ${\displaystyle y_{0}}$

Los valores intermedios generalmente se dan mediante el diagrama de Nikuradse derivado empíricamente, ^[2] aunque también se han propuesto métodos analíticos para resolver este rango. ^[6]

Para canales con un límite granular, como los sistemas fluviales naturales,

${\displaystyle k_{s}\approx 3.5D_{84},\ }$

donde es el diámetro promedio del percentil 84 más grande de los granos del material del lecho. ^[7] ${\displaystyle D_{84}}$

Soluciones de la ley de potencia

Los trabajos de Barenblatt y otros han demostrado que además de la ley logarítmica de la pared (el límite para los números de Reynolds infinitos), existen soluciones de ley de potencia, que dependen del número de Reynolds. ^{[8] [9]} En 1996, Cipra presentó evidencia experimental en apoyo de estas descripciones de ley de potencia. ^[10] Esta evidencia en sí no ha sido completamente aceptada por otros expertos. ^[11] En 2001, Oberlack afirmó haber derivado tanto la ley logarítmica de la pared, como las leyes de potencia, directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds , explotando las simetrías en un enfoque de grupo de Lie . ^{[3] [12]} Sin embargo, en 2014, Frewer et al. ^[13] refutaron estos resultados.

Para escalares

Para los escalares (especialmente la temperatura), se ha teorizado la ley logarítmica autosimilar de la pared (formulada por primera vez por BA Kader ^[14] ) y se ha observado en estudios experimentales y computacionales. ^{[15] [16] [17] [18]} En muchos casos, generalmente se necesitan extensiones a la formulación original de la ley de la pared (generalmente a través de transformaciones integrales) para tener en cuenta la compresibilidad, las propiedades variables y los efectos del fluido real.

Cerca de la pared

Por debajo de la región donde se aplica la ley de la pared, existen otras estimaciones de la velocidad de fricción. ^[19]

Subcapa viscosa

En la región conocida como subcapa viscosa, por debajo de 5 unidades de pared, la variación de to es aproximadamente 1:1, de modo que: ${\displaystyle u^{+}}$ ${\displaystyle y^{+}}$

Para  ${\displaystyle y^{+}<5}$

${\displaystyle u^{+}=y^{+}}$

dónde,

Esta aproximación se puede utilizar a más de 5 unidades de pared, pero el error es superior al 25%. ${\displaystyle y^{+}=12}$

Capa de amortiguación

En la capa intermedia, entre 5 unidades de pared y 30 unidades de pared, no se cumple ninguna de las dos leyes, de modo que:

Para  ${\displaystyle 5<y^{+}<30}$

${\displaystyle u^{+}\neq y^{+}}$

${\displaystyle u^{+}\neq {\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+}}$

La mayor variación de cada ley se produce aproximadamente en el punto donde se intersecan las dos ecuaciones, en . Es decir, antes de 11 unidades de pared, la aproximación lineal es más precisa y después de 11 unidades de pared se debe utilizar la aproximación logarítmica, aunque ninguna es relativamente precisa en 11 unidades de pared. ${\displaystyle y^{+}=11}$

El perfil de velocidad media en la dirección de la corriente se mejora con una formulación de viscosidad de remolino basada en una función de energía cinética turbulenta cercana a la pared y la ecuación de longitud de mezcla de van Driest. Las comparaciones con datos DNS de flujos de canales turbulentos completamente desarrollados para mostraron una buena concordancia. ^[20] ${\displaystyle u^{+}}$ ${\displaystyle y^{+}<20}$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle 109<Re_{\tau }<2003}$

Notas

1. von Kármán, Th. (1930), "Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Fachgruppe 1 (Mathematik) , 5 : 58–76(también como: “Similitud mecánica y turbulencia”, Tech. Mem. NACA, no. 611, 1931).
2. Mohrig, David (2004). "Conservación de masa y momento" (PDF) . 12.110: Geología sedimentaria, otoño de 2004. MIT OCW . Consultado el 27 de marzo de 2009 .
3. Schlichting y Gersten (2000) págs.
4. Schlichting y Gersten (2000) pág. 530.
5. Whipple, Kelin (2004). "Rugosidad hidráulica" (PDF) . 12.163: Procesos superficiales y evolución del paisaje . MIT OCW . Consultado el 27 de marzo de 2009 .
6. Le Roux, JP (2004), "Una ley integrada de la pared para el flujo hidrodinámico transicional sobre lechos planos", Geología sedimentaria , 163 (3–4): 311–321, Bibcode :2004SedG..163..311L, doi :10.1016/j.sedgeo.2003.07.005
7. Haws, Benjamin. "Rugosidad de arena equivalente de Nikuradse (ks)" . Consultado el 27 de marzo de 2009 .^{[ enlace muerto ]}
8. Lynn Yarris. "Una falla en la ley". Berkeley Lab: Highlights 97–98 . Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley, Departamento de Energía de EE. UU.
9. Barenblatt, GI (1993), "Leyes de escala para flujos de cizallamiento turbulentos completamente desarrollados. Parte 1. Hipótesis básicas y análisis", Journal of Fluid Mechanics , 248 : 513–520, Bibcode :1993JFM...248..513B, doi :10.1017/S0022112093000874, S2CID  123639410
   Barenblatt, GI; Prostokishin, VM (1993), "Leyes de escala para flujos de cizallamiento turbulentos completamente desarrollados. Parte 2. Procesamiento de datos experimentales", Journal of Fluid Mechanics , 248 : 521–529, Bibcode :1993JFM...248..521B, doi :10.1017/S0022112093000886, S2CID  121328837
   Barenblatt, GI; Goldenfeld, N. (1995), "¿Existe una turbulencia completamente desarrollada? Independencia del número de Reynolds frente a covarianza asintótica", Physics of Fluids , 7 (12): 3078–3084, arXiv : cond-mat/9507132 , Bibcode :1995PhFl....7.3078B, doi :10.1063/1.868685, S2CID  15138376
   Barenblatt, GI; Chorin, AJ (1998), "Leyes de escala y límites de viscosidad evanescente para flujos de cizallamiento delimitados por paredes y para estructura local en turbulencia desarrollada", Communications on Pure and Applied Mathematics , 50 (4): 381–398, doi :10.1002/(SICI)1097-0312(199704)50:4<381::AID-CPA5>3.0.CO;2-6
10. Cipra, Barry Arthur (mayo de 1996), "Una nueva teoría de la turbulencia causa revuelo entre los expertos", Science , 272 (5264): 951, Bibcode :1996Sci...272..951C, doi :10.1126/science.272.5264.951, S2CID  117371905
11. Zagarola, MV; Perry, AE; Smits, AJ (1997), "Leyes logarítmicas o leyes de potencia: la escala en la región de superposición", Physics of Fluids , 9 (7): 2094–2100, Bibcode :1997PhFl....9.2094Z, CiteSeerX 10.1.1.503.989 , doi :10.1063/1.869328 
12. Oberlack, Martin (2001), "Un enfoque unificado para simetrías en flujos de cizallamiento turbulentos paralelos al plano", Journal of Fluid Mechanics , 427 (1): 299–328, Bibcode :2001JFM...427..299O, doi :10.1017/S0022112000002408, S2CID  122979735
13. Frewer, Michael; Khujadze, George; Foysi, Holger (2014), ¿Es la ley logarítmica un resultado del primer principio del análisis de invariancia del grupo de Lie? , págs. 1–32, arXiv : 1412.3069 , Bibcode :2014arXiv1412.3069F
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19. Flujos turbulentos (2000) págs. 273-274. Pope, Stephen (2000), Flujos turbulentos (1.ª edición revisada), Cambridge University Press, ISBN 0-521-59125-2
20. Absi, Rafik (2009), "Una formulación simple de viscosidad de remolino para capas límite turbulentas cerca de paredes lisas", Comptes Rendus Mécanique , 337 (3): 158–165, arXiv : 1106.0985 , Bibcode :2009CRMec.337..158A, doi :10.1016/j.crme.2009.03.010, S2CID  40907005

Referencias

• Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
• Schlichting, Hermann; Gersten, K. (2000), Teoría de la capa límite (octava edición revisada), Springer, ISBN 3-540-66270-7

Lectura adicional

• Buschmann, Matthias H.; Gad-el-Hak, Mohamed (2009), "Evidencia de comportamiento no logarítmico del flujo turbulento en canales y tuberías", AIAA Journal , 47 (3): 535, Bibcode :2009AIAAJ..47..535B, doi :10.2514/1.37032

Enlaces externos

• Definición de ScienceWorld
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• Estimador Y+
• ThermoTurb: una calculadora de caudal medio turbulento