Fórmula de reflexión

Cálculo numérico de funciones especiales

En matemáticas , una fórmula de reflexión o relación de reflexión para una función f es una relación entre f ( a  −  x ) y f ( x ). Es un caso especial de ecuación funcional . Es común en la literatura matemática utilizar el término "ecuación funcional" para lo que son específicamente fórmulas de reflexión.

Las fórmulas de reflexión son útiles para el cálculo numérico de funciones especiales . En efecto, se puede emplear una aproximación que tenga mayor precisión o que solo converja en un lado de un punto de reflexión (normalmente en la mitad positiva del plano complejo ) para todos los argumentos.

Fórmulas conocidas

Las funciones pares e impares satisfacen por definición relaciones de reflexión simples alrededor de a  = 0. Para todas las funciones pares,

$${\displaystyle f(-x)=f(x),}$$

y para todas las funciones impares,

$${\displaystyle f(-x)=-f(x).}$$

Una relación famosa es la fórmula de reflexión de Euler.

$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$

para la función gamma , debido a Leonhard Euler . ${\textstyle \Gamma (z)}$

También existe una fórmula de reflexión para la función poligamma general de orden n ψ ^{( n )} ( z ),

$${\displaystyle \psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}}$$

lo cual surge trivialmente del hecho de que las funciones poligamma se definen como las derivadas de y por lo tanto heredan la fórmula de reflexión. ${\textstyle \ln \Gamma }$

El dilogaritmo también satisface una fórmula de reflexión, ^{[1] [2]}

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)=\zeta (2)-\ln(z)\ln(1-z)}$$

La función zeta de Riemann ζ ( z ) satisface

$${\displaystyle {\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),}$$

y la función Xi de Riemann ξ ( z ) satisface

$${\displaystyle \xi (z)=\xi (1-z).}$$

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Dilogaritmo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de agosto de 2024 .
2. "Fórmula de reflexión del dilogaritmo - ProofWiki". proofwiki.org . Consultado el 1 de agosto de 2024 .

• Weisstein, Eric W. "Relación de reflexión". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Función poligamma". MathWorld .