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Reducir

En álgebra universal y en teoría de modelos , la reducción de una estructura algebraica se obtiene omitiendo algunas de las operaciones y relaciones de esa estructura. El opuesto de "reducción" es "expansión".

Definición

Sea A una estructura algebraica (en el sentido del álgebra universal ) o una estructura en el sentido de la teoría de modelos , organizada como un conjunto X junto con una familia indexada de operaciones y relaciones φ i sobre ese conjunto, con conjunto índice I. Entonces el reducto de A definido por un subconjunto J de I es la estructura consistente en el conjunto X y la familia indexada J de operaciones y relaciones cuya j -ésima operación o relación para jJ es la j -ésima operación o relación de A. Es decir, este reducto es la estructura A con la omisión de aquellas operaciones y relaciones φ i para las que i no está en J.

Una estructura A es una expansión de B exactamente cuando B es una reducción de A. Es decir, la reducción y la expansión son recíprocas.

Ejemplos

El monoide ( Z , +, 0) de los números enteros bajo adición es un reducto del grupo ( Z , +, −, 0) de los números enteros bajo adición y negación , obtenido omitiendo la negación. Por el contrario, el monoide ( N , +, 0) de los números naturales bajo adición no es el reducto de ningún grupo.

Por el contrario, el grupo ( Z , +, −, 0) es la expansión del monoide ( Z , +, 0), expandiéndolo con la operación de negación.

Referencias