En ingeniería energética , la reducción de Kron es un método utilizado para reducir o eliminar el nodo deseado sin necesidad de repetir los pasos como en la eliminación gaussiana . [1]
Lleva el nombre del ingeniero eléctrico estadounidense Gabriel Kron .
La reducción de Kron es una herramienta útil para eliminar nodos no utilizados en una matriz de parámetros Y. [2] [3] Por ejemplo, tres elementos lineales vinculados en serie con un puerto en cada extremo pueden modelarse fácilmente como una matriz de admitancia nodal 4X4 de parámetros Y, pero normalmente solo se deben considerar los dos nodos del puerto para el modelado y la simulación. La reducción de Kron se puede utilizar para eliminar los nodos internos y, de ese modo, reducir la matriz de parámetros Y de cuarto orden a una matriz de parámetros Y de segundo orden. La matriz de parámetros Y de segundo orden se convierte entonces más fácilmente en una matriz de parámetros Z o una matriz de parámetros S cuando sea necesario.
Operaciones matriciales
Consideremos una matriz general de parámetros Y que puede crearse a partir de una combinación de elementos lineales construidos de manera que existan dos nodos internos.
Si bien es posible utilizar la matriz 4X4 en simulaciones o construir una matriz de parámetros S 4X4, puede ser más simple reducir la matriz de parámetros Y a una 2X2 eliminando los dos nodos internos mediante la reducción de Kron y luego simular con una matriz 2X2 y/o convertir a una matriz de parámetros S o Z 2X2.
El proceso para ejecutar una reducción de Kron es el siguiente: [4]
Seleccione la fila o columna K que se utilizará para modelar los nodos internos no deseados que se eliminarán. Aplique la siguiente fórmula a todas las demás entradas de la matriz que no residan en la fila y columna K. Luego, simplemente elimine la fila y columna K de la matriz, lo que reduce el tamaño de la matriz en uno.
Reducción de Kron para la fila/columna K de una matriz NxN:
Los elementos lineales que también son pasivos forman siempre una matriz de parámetros Y simétrica, es decir, en todos los casos. El número de cálculos de una reducción de Kron se puede reducir aprovechando esta simetría, como se muestra en la ecuación siguiente.
Reducción de Kron para matrices NxN simétricas:
Una vez que todas las entradas de la matriz han sido modificadas por la ecuación de reducción de Kron, se elimina la fila/columna K y se reduce el orden de la matriz en uno. Repita esto para todos los nodos internos que se deseen eliminar.
El concepto detrás de la reducción de Kron es bastante simple. Los parámetros Y se miden utilizando nodos conectados a tierra, pero los nodos no utilizados, es decir, los nodos sin puertos, no están necesariamente conectados a tierra y su estado no es conocido directamente por el exterior. Por lo tanto, la matriz de parámetros Y de la red completa no describe adecuadamente el parámetro Y de la red que se está modelando y contiene entradas extrañas si algunos nodos no tienen puertos.
Consideremos el caso de dos elementos agrupados de igual valor en serie, por ejemplo, dos resistencias de igual resistencia. Si ambas resistencias tienen una admitancia de , y la red en serie tiene una admitancia de . La matriz de admitancia completa que tiene en cuenta los tres nodos de la red se vería como la siguiente, utilizando técnicas estándar de construcción de matrices de parámetros Y:
Sin embargo, se observa fácilmente que las dos resistencias en serie, cada una con una admitancia asignada de Y, tienen una admitancia neta de , y como las resistencias no dejan pasar corriente a tierra, la red Y12 es igual y opuesta a YR11, es decir YR12 = -YR11. La red de 2 puertos sin el nodo intermedio se puede crear mediante inspección y se muestra a continuación:
Como se deben eliminar la fila y la columna 2 de la matriz, podemos reescribirla sin la fila 2 y la columna 2. Llamaremos a esta matriz reescrita .
Ahora tenemos una base para crear la ecuación de traducción al encontrar una ecuación que traduzca cada entrada en la entrada correspondiente en :
Para cada una de las cuatro entradas, se puede observar que al restar el valor que se encuentra a la izquierda de la flecha se logra la traducción. Como es idéntico a , cada caso de cumple la condición que se muestra en las ecuaciones de traducción generales.
El mismo proceso puede utilizarse para elementos de admitancia arbitraria ( etc.) y redes de tamaño arbitrario, pero el álgebra se vuelve más compleja. El truco consiste en deducir y/o calcular una expresión que traduzca las entradas de la matriz original a las entradas de la matriz reducida.
