Cuadrícula escasa

Las cuadrículas dispersas son técnicas numéricas para representar, integrar o interpolar funciones de alta dimensión . Fueron desarrollados originalmente por el matemático ruso Sergey A. Smolyak, estudiante de Lazar Lyusternik , y se basan en una construcción de producto tensor disperso. Posteriormente , Michael Griebel y Christoph Zenger desarrollaron algoritmos informáticos para implementaciones eficientes de tales redes .

Maldición de dimensionalidad

La forma estándar de representar funciones multidimensionales es tensor o cuadrículas completas. El número de funciones básicas o nodos (puntos de cuadrícula) que deben almacenarse y procesarse depende exponencialmente del número de dimensiones.

La maldición de la dimensionalidad se expresa en el orden del error de integración que se realiza mediante una cuadratura de nivel , con puntos. La función tiene regularidad , es decir, es diferenciable en tiempos. El número de dimensiones es . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle N_{l}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle |E_{l}|=O(N_{l}^{-{\frac {r}{d}}})}$

Regla de cuadratura de Smolyak

Smolyak encontró un método computacionalmente más eficiente para integrar funciones multidimensionales basado en una regla de cuadratura univariada . La integral de Smolyak -dimensional de una función se puede escribir como una fórmula recursiva con el producto tensorial . ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Q^{(d)}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle Q_{l}^{(d)}f=\left(\sum _{i=1}^{l}\left(Q_{i}^{(1)}-Q_{i-1}^{(1)}\right)\otimes Q_{l-i+1}^{(d-1)}\right)f}$

El índice de es el nivel de discretización. Si se calcula una integración unidimensional en el nivel mediante la evaluación de puntos, la estimación del error para una función de regularidad será ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle O(2^{i})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |E_{l}|=O\left(N_{l}^{-r}\left(\log N_{l}\right)^{(d-1)(r+1)}\right)}$

Otras lecturas

• Brumm, J.; Scheidegger, S. (2017). "Uso de cuadrículas dispersas adaptativas para resolver modelos dinámicos de alta dimensión" (PDF) . Econométrica . 85 (5): 1575-1612. doi :10.3982/ECTA12216.
• Garcke, Jochen (2012). "Rejillas dispersas en pocas palabras" (PDF) . En Garcke, Jochen; Griebel, Michael (eds.). Aplicaciones y redes dispersas . Saltador. págs. 57–80. ISBN 978-3-642-31702-6.
• Zenger, Christoph (1991). "Cuadrículas dispersas" (PDF) . En Hackbusch, Wolfgang (ed.). Algoritmos paralelos para ecuaciones diferenciales parciales . Vereg. págs. 241-251. ISBN 3-528-07631-3.

enlaces externos

• Una estructura de datos eficiente en memoria para cuadrículas dispersas regulares
• Esquema de diferencias finitas en redes dispersas
• Visualización en cuadrículas dispersas
• Minería de datos en redes dispersas, J. Garcke, M. Griebel (pdf)