Reconstrucción de señales

Tema importante del procesamiento y la ingeniería de señales.

En el procesamiento de señales , la reconstrucción generalmente significa la determinación de una señal continua original a partir de una secuencia de muestras igualmente espaciadas.

Este artículo adopta un enfoque matemático abstracto generalizado para el muestreo y la reconstrucción de señales. Para un enfoque más práctico basado en señales de banda limitada, consulte la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Principio general

Sea F cualquier método de muestreo, es decir, una función lineal del espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado al espacio complejo . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

En nuestro ejemplo, el espacio vectorial de las señales muestreadas es un espacio complejo n -dimensional. Cualquier R inversa propuesta de F ( fórmula de reconstrucción , en la jerga) tendría que corresponder a algún subconjunto de . Podríamos elegir este subconjunto arbitrariamente, pero si queremos una fórmula de reconstrucción R que también sea una función lineal, entonces tenemos que elegir un subespacio lineal n -dimensional de . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Este hecho de que las dimensiones tienen que coincidir está relacionado con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon .

El método del álgebra lineal elemental funciona aquí. Sea (todas las entradas cero, excepto la entrada k ésima, que es un uno) o alguna otra base de . Para definir una inversa para F , simplemente elija, para cada k , un tal que . Esto define de manera única la (pseudo-)inversa de F . ${\displaystyle d_{k}:=(0,...,0,1,0,...,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{k}\in L^{2}}$ ${\displaystyle F(e_{k})=d_{k}}$

Por supuesto, uno puede elegir primero alguna fórmula de reconstrucción, luego calcular algún algoritmo de muestreo a partir de la fórmula de reconstrucción o analizar el comportamiento de un algoritmo de muestreo dado con respecto a la fórmula dada.

Lo ideal es que la fórmula de reconstrucción se obtenga minimizando la varianza del error esperado. Para ello es necesario conocer las estadísticas de la señal o especificar una probabilidad previa para la señal. La teoría de campos de información es entonces un formalismo matemático adecuado para obtener una fórmula de reconstrucción óptima. ^[1]

Fórmulas de reconstrucción populares

Quizás la fórmula de reconstrucción más utilizada sea la siguiente. Sea una base de en el sentido del espacio de Hilbert; por ejemplo, se podría utilizar la fórmula eikonal ${\displaystyle \{e_{k}\}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle e_{k}(t):=e^{2\pi ikt}\,}$,

Aunque sin duda son posibles otras opciones, nótese que aquí el índice k puede ser cualquier entero, incluso negativo.

Luego podemos definir una función lineal R mediante

${\displaystyle R(d_{k})=e_{k}\,}$

para cada , donde es la base de dada por ${\displaystyle k=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor }$ ${\displaystyle (d_{k})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle d_{k}(j)=e^{2\pi ijk \over n}}$

(Ésta es la base de Fourier discreta habitual).

La elección del rango es algo arbitraria, aunque satisface el requisito de dimensionalidad y refleja la noción habitual de que la información más importante está contenida en las frecuencias bajas. En algunos casos, esto es incorrecto, por lo que es necesario elegir una fórmula de reconstrucción diferente. ${\displaystyle k=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor }$

Se puede obtener un enfoque similar utilizando wavelets en lugar de bases de Hilbert. Para muchas aplicaciones, todavía no está claro cuál es el mejor enfoque. ^{[ ¿ Investigación original? ]}

Véase también

• Alias
• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• Fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon

Referencias

1. "Teoría de campos de información". Sociedad Max Planck . Consultado el 13 de noviembre de 2014 .