Ajuste de mínimos cuadrados

El ajuste por mínimos cuadrados es un modelo para la solución de un sistema de ecuaciones sobredeterminado basado en el principio de mínimos cuadrados de los residuos de observación . Se utiliza ampliamente en las disciplinas de topografía , geodesia y fotogrametría (el campo de la geomática , en conjunto).

Formulación

Hay tres formas de ajuste de mínimos cuadrados: paramétrico , condicional y combinado :

En el ajuste paramétrico , se puede encontrar una ecuación de observación $h (X) = Y$ que relaciona las observaciones $Y$ explícitamente en términos de los parámetros $X$ (lo que conduce al modelo A a continuación).
En el ajuste condicional , existe una ecuación de condición que es $g (Y) = 0$ que involucra solo las observaciones $Y$ (lo que conduce al modelo B a continuación), sin ningún parámetro $X.$
Finalmente, en un ajuste combinado , tanto los parámetros $X$ como las observaciones $Y$ están involucrados implícitamente en una ecuación de modelo mixto $f (X, Y) = 0$ .

Claramente, los ajustes paramétricos y condicionales corresponden al caso combinado más general cuando $f (X, Y) = h (X) - Y$ y $f (X, Y) = g (Y)$ , respectivamente. Sin embargo, los casos especiales justifican soluciones más simples, como se detalla a continuación. A menudo en la literatura, $Y$ puede denotarse $L$ .

Solución

Las igualdades anteriores solo se cumplen para los parámetros estimados y las observaciones , por lo tanto . Por el contrario, las observaciones medidas y los parámetros aproximados producen un cierre erróneo distinto de cero : Se puede proceder a la expansión de las ecuaciones en serie de Taylor, lo que da como resultado los jacobianos o matrices de diseño : el primero, y el segundo, El modelo linealizado se lee entonces: donde son correcciones de parámetros estimados a los valores a priori , y son residuos de observación posteriores al ajuste . ${\hat {X}}$ ${\hat {Y}}$ $f\left({\hat {X}},{\hat {Y}}\right)=0$ ${\tilde {Y}}$ ${\tilde {X}}$ ${\tilde {w}}=f\left({\tilde {X}},{\tilde {Y}}\right).$ $A=\parcial {f}/\parcial {X};$ $B=\parcial {f}/\parcial {Y}.$ ${\tilde {w}}+A{\hat {x}}+B{\hat {y}}=0,$ ${\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}$ ${\sombrero {y}}={\sombrero {Y}}-{\tilde {Y}}$

En el ajuste paramétrico, la segunda matriz de diseño es una identidad, B = - I , y el vector de cierre incorrecto puede interpretarse como los residuos previos al ajuste, , por lo que el sistema se simplifica a: que está en forma de mínimos cuadrados ordinarios . En el ajuste condicional, la primera matriz de diseño es nula, $A$ $= 0$ . Para los casos más generales, se introducen multiplicadores de Lagrange para relacionar las dos matrices jacobianas y transformar el problema de mínimos cuadrados restringido en uno sin restricciones (aunque más grande). En cualquier caso, su manipulación conduce a los vectores y , así como a los respectivos parámetros y observaciones, matrices de covarianza a posteriori . ${\tilde {y}}={\tilde {w}}=h({\tilde {X}})-{\tilde {Y}}$ $A{\sombrero {x}}={\sombrero {y}}-{\tilde {y}},$ ${\hat {X}}$ ${\hat {Y}}$

Cálculo

Dadas las matrices y vectores anteriores, su solución se encuentra a través de métodos estándar de mínimos cuadrados; por ejemplo, formando la matriz normal y aplicando la descomposición de Cholesky , aplicando la factorización QR directamente a la matriz jacobiana, métodos iterativos para sistemas muy grandes, etc.

Ejemplos resueltos

Aplicaciones

Redes de nivelación , travesía y control
Ajuste de paquete
Triangulación , Trilateración , Triangulación
Posicionamiento GPS / GNSS
Transformación de Helmert

Conceptos relacionados

El ajuste paramétrico es similar a la mayoría de los análisis de regresión y coincide con el modelo de Gauss-Markov.
Ajuste combinado, también conocido comoEl modelo de Gauss-Helmert (llamado así por los matemáticos/geodésicos alemanesCF GaussyFR Helmert),^[1]^[2]está relacionado con losmodelos de errores en las variablesylos mínimos cuadrados totales.^[3]^[4]
El uso de una matriz de covarianza de parámetros a priori es similar a la regularización de Tikhonov.

Extensiones

Si se encuentra una deficiencia de rango , a menudo se puede rectificar mediante la inclusión de ecuaciones adicionales que imponen restricciones a los parámetros y/o las observaciones, lo que conduce a mínimos cuadrados restringidos .

Referencias

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