Rango espectral libre

Concepto en óptica ondulatoria

El rango espectral libre ( FSR ) es el espaciamiento en frecuencia óptica o longitud de onda entre dos máximos o mínimos sucesivos de intensidad óptica reflejada o transmitida de un interferómetro o elemento óptico difractivo . ^[1]

El FSR no siempre se representa con o , sino que a veces se representa simplemente con las letras FSR. La razón es que estos términos diferentes a menudo se refieren al ancho de banda o al ancho de línea de una fuente emitida respectivamente. ${\displaystyle \Delta \nu }$ ${\displaystyle \Delta \lambda }$

En general

El rango espectral libre (FSR) de una cavidad en general está dado por ^[2]

${\displaystyle \left|\Delta \lambda _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)^{-1}\right|}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle \left|\Delta \nu _{\text{FSR}}\right|={\frac {2\pi }{L}}\left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \nu }}\right)^{-1}\right|}$

Estas expresiones se pueden derivar de la condición de resonancia mediante la expansión en serie de Taylor. Aquí, es el vector de onda de la luz dentro de la cavidad, y son el vector de onda y la longitud de onda en el vacío, es el índice de refracción de la cavidad y es la longitud de ida y vuelta de la cavidad (observe que para una cavidad de onda estacionaria, es igual al doble de la longitud física de la cavidad). ${\displaystyle \Delta \beta L=2\pi }$ ${\displaystyle \Delta \beta }$ ${\displaystyle \beta =k_{0}n(\lambda )={\frac {2\pi }{\lambda }}n(\lambda )}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Dado que , la FSR (en longitud de onda) viene dada por ${\displaystyle \left|\left({\frac {\partial \beta }{\partial \lambda }}\right)\right|={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}\left[n(\lambda )-\lambda {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right]={\frac {2\pi }{\lambda ^{2}}}n_{g}}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

ser es el índice de grupo del medio dentro de la cavidad. o, equivalentemente, ${\displaystyle n_{\text{g}}}$

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}={\frac {c}{n_{\text{g}}L}},}$

¿Dónde está la velocidad de la luz en el vacío? ${\displaystyle c}$

Si la dispersión del material es despreciable, es decir , entonces las dos expresiones anteriores se reducen a ${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\approx 0}$

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}\approx {\frac {\lambda ^{2}}{n(\lambda )L}},}$

y

${\displaystyle \Delta \nu _{\text{FSR}}\approx {\frac {c}{n(\lambda )L}}.}$

Una interpretación intuitiva simple del FSR es que es el inverso del tiempo de ida y vuelta : ${\displaystyle T_{R}}$

${\displaystyle T_{R}={\frac {n_{\text{g}}L}{c}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\text{FSR}}}}.}$

En longitud de onda, la FSR se da por

${\displaystyle \Delta \lambda _{\text{FSR}}={\frac {\lambda ^{2}}{n_{\text{g}}L}},}$

donde es la longitud de onda de la luz en el vacío. Para una cavidad lineal, como el interferómetro Fabry-Pérot ^[3] que se analiza a continuación, , donde es la distancia recorrida por la luz en un viaje de ida y vuelta alrededor de la cavidad cerrada, y es la longitud de la cavidad. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L=2l}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle l}$

Rejillas de difracción

El rango espectral libre de una rejilla de difracción es el rango de longitud de onda más grande para un orden dado que no se superpone al mismo rango en un orden adyacente. Si el  orden ( m + 1) de y el orden m de se encuentran en el mismo ángulo, entonces ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\lambda +\Delta \lambda )}$

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda }{m}}.}$

Interferómetro de Fabry-Pérot

En un interferómetro Fabry-Pérot ^[3] o etalón, la separación de longitud de onda entre picos de transmisión adyacentes se denomina rango espectral libre del etalón y se da por

${\displaystyle \Delta \lambda ={\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta +\lambda _{0}}}\approx {\frac {\lambda _{0}^{2}}{2nl\cos \theta }},}$

donde λ ₀ es la longitud de onda central del pico de transmisión más cercano, n es el índice de refracción del medio de la cavidad, es el ángulo de incidencia y es el espesor de la cavidad. Con mayor frecuencia, FSR se expresa en unidades de frecuencia, en lugar de unidades de longitud de onda: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \Delta f\approx {\frac {c}{2nl\cos \theta }}.}$

La transmisión de un etalón en función de la longitud de onda. Un etalón de alta fineza (línea roja) muestra picos más nítidos y mínimos de transmisión más bajos que un etalón de baja fineza (línea azul). El rango espectral libre es Δλ (mostrado sobre el gráfico).

La FSR está relacionada con el δλ medio del ancho completo de cualquier banda de transmisión por una cantidad conocida como finesse :

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {\Delta \lambda }{\delta \lambda }}={\frac {\pi }{2\arcsin(1/{\sqrt {F}})}},}$

donde es el coeficiente de finura , y R es la reflectividad de los espejos. ${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

Esto se aproxima comúnmente (para R > 0,5) mediante

${\displaystyle {\mathcal {F}}\approx {\frac {\pi {\sqrt {F}}}{2}}={\frac {\pi R^{1/2}}{(1-R)}}.}$

Referencias

1. Hecht, Eugene (2017). Óptica (5.ª ed.). Págs. 431–433, 614. ISBN 9780133977226.OCLC 953709783  .
2. Rabus, Dominik.G. (26 de abril de 2007). Resonadores de anillo integrados . ISBN 978-3-540-68788-7.OCLC 123893382  .
3. Ismail, N.; Kores, CC; Geskus, D.; Pollnau, M. (2016). "Resonador Fabry-Pérot: formas de línea espectral, distribuciones de Airy genéricas y relacionadas, anchos de línea, finezas y rendimiento a baja reflectividad o dependiente de la frecuencia". Optics Express . 24 (15): 16366–16389. Bibcode :2016OExpr..2416366I. doi : 10.1364/OE.24.016366 . PMID  27464090.