Ventilador de expansión Prandtl-Meyer

Fenómeno en dinámica de fluidos

Cuando un flujo supersónico encuentra una esquina convexa, forma un abanico de expansión, que consiste en un número infinito de ondas de expansión centradas en la esquina. La figura muestra un abanico de expansión ideal de este tipo.

Un abanico de expansión supersónico, técnicamente conocido como abanico de expansión de Prandtl-Meyer , una onda simple bidimensional , es un proceso de expansión centrado que ocurre cuando un flujo supersónico gira alrededor de una esquina convexa . El abanico consiste en un número infinito de ondas de Mach , que divergen desde una esquina aguda. Cuando un flujo gira alrededor de una esquina suave y circular, estas ondas pueden extenderse hacia atrás para encontrarse en un punto.

Cada onda del ventilador de expansión hace girar el flujo gradualmente (en pequeños pasos). Es físicamente imposible que el flujo gire mediante una sola onda de "choque", porque esto violaría la segunda ley de la termodinámica . ^[1]

A través del abanico de expansión, el flujo se acelera (aumenta la velocidad) y el número de Mach aumenta, mientras que la presión estática , la temperatura y la densidad disminuyen. Dado que el proceso es isentrópico , las propiedades de estancamiento (por ejemplo, la presión total y la temperatura total) permanecen constantes a lo largo del abanico.

La teoría fue descrita por Theodor Meyer en su tesis doctoral en 1908, junto con su asesor Ludwig Prandtl , quien ya había discutido el problema un año antes. ^{[2] [3]}

Propiedades de flujo

El abanico de expansión consta de un número infinito de ondas de expansión o líneas de Mach . ^[4] La primera línea de Mach forma un ángulo con respecto a la dirección del flujo, y la última línea de Mach forma un ángulo con respecto a la dirección del flujo final. Dado que el flujo gira en ángulos pequeños y los cambios en cada onda de expansión son pequeños, todo el proceso es isentrópico. ^[1] Esto simplifica significativamente los cálculos de las propiedades del flujo. Dado que el flujo es isentrópico, las propiedades de estancamiento como la presión de estancamiento ( ), la temperatura de estancamiento ( ) y la densidad de estancamiento ( ) permanecen constantes. Las propiedades estáticas finales son una función del número de Mach del flujo final ( ) y se pueden relacionar con las condiciones iniciales del flujo de la siguiente manera, donde es la relación de capacidad térmica del gas (1,4 para el aire): ${\displaystyle \mu _{1}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{1}}}\right)}$ ${\displaystyle \mu _{2}=\arcsin \left({\frac {1}{M_{2}}}\right)}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {T_{2}}{T_{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)\\[3pt]{\frac {p_{2}}{p_{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\\[3pt]{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}&=\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{1}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{2}^{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}.\end{aligned}}}$

El número de Mach después del giro ( ) está relacionado con el número de Mach inicial ( ) y el ángulo de giro ( ) por, ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta =\nu (M_{2})-\nu (M_{1})\,}$

donde, es la función de Prandtl-Meyer . Esta función determina el ángulo que debe recorrer un flujo sónico ( M = 1) para alcanzar un número de Mach (M) determinado. Matemáticamente, ${\displaystyle \nu (M)\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}\left(M^{2}-1\right)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}.\\\end{aligned}}}$

Por convención, ${\displaystyle \nu (1)=0.\,}$

Por lo tanto, dado el número de Mach inicial ( ), se puede calcular y utilizando el ángulo de giro encontrar . A partir del valor de se puede obtener el número de Mach final ( ) y las demás propiedades del flujo. El campo de velocidad en el ventilador de expansión, expresado en coordenadas polares, se da por ^[5] ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \nu (M_{1})\,}$ ${\displaystyle \nu (M_{2})\,}$ ${\displaystyle \nu (M_{2})\,}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle (r,\phi )}$

${\displaystyle v_{r}={\sqrt {2(h_{0}-h)-c^{2}}},\quad v_{\phi }=c,\quad {\text{where}}\quad \phi =-\int {\frac {d(\rho c)}{\rho {\sqrt {2(h_{0}-h)-c^{2}}}}},}$

${\displaystyle h}$es la entalpía específica y es la entalpía específica de estancamiento. ${\displaystyle h_{0}}$

Ángulo de giro máximo

Existe un límite en el ángulo máximo ( ) a través del cual un flujo supersónico puede girar. ${\displaystyle \theta _{\text{max}}}$

Como el número de Mach varía de 1 a , toma valores de 0 a , donde ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \nu \,}$ ${\displaystyle \nu _{\text{max}}\,}$

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}\left({\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1\right).}$

Esto establece un límite sobre cuánto puede girar un flujo supersónico, con un ángulo de giro máximo dado por:

${\displaystyle \theta _{\text{max}}=\nu _{\text{max}}-\nu (M_{1}).\,}$

También se puede considerar de la siguiente manera: un flujo debe girar para poder satisfacer las condiciones de contorno. En un flujo ideal, hay dos tipos de condiciones de contorno que el flujo debe satisfacer:

1. Condición de contorno de velocidad, que establece que el componente de la velocidad del flujo normal a la pared sea cero. También se conoce como condición de contorno de no penetración.
2. Condición de borde de presión, que establece que no puede haber una discontinuidad en la presión estática dentro del flujo (ya que no hay choques en el flujo).

Si el flujo gira lo suficiente como para volverse paralelo a la pared, no necesitamos preocuparnos por la condición de contorno de presión. Sin embargo, a medida que el flujo gira, su presión estática disminuye (como se describió anteriormente). Si no hay suficiente presión para comenzar, el flujo no podrá completar el giro y no será paralelo a la pared. Esto se muestra como el ángulo máximo a través del cual un flujo puede girar. Cuanto menor sea el número de Mach con el que se inicia (es decir, pequeño ), mayor será el ángulo máximo a través del cual el flujo puede girar. ${\displaystyle M_{1}}$

La línea de corriente que separa la dirección final del flujo y la pared se conoce como estela (que se muestra como la línea discontinua en la figura). A lo largo de esta línea hay un salto en la temperatura, la densidad y el componente tangencial de la velocidad (el componente normal es cero). Más allá de la estela, el flujo está estancado (lo que satisface automáticamente la condición límite de velocidad en la pared). En caso de flujo real, se observa una capa de cizallamiento en lugar de una estela, debido a la condición límite adicional de no deslizamiento .

Notas

1. 

   Un proceso de expansión a través de un solo "choque" es imposible, porque violaría la segunda ley de la termodinámica.

   Imposibilidad de expandir un flujo a través de una sola onda de "choque": considere el escenario que se muestra en la figura adyacente. A medida que un flujo supersónico gira, el componente normal de la velocidad aumenta ( ), mientras que el componente tangencial permanece constante ( ). El cambio correspondiente es la entropía ( ) que se puede expresar de la siguiente manera: ${\displaystyle w_{2}>w_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}}$ ${\displaystyle \Delta s=s_{2}-s_{1}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta s}{R}}&=\ln \left[\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}\left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}\right]\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left({\frac {p_{2}-p_{1}}{p_{1}}}\right)^{3}\\&\approx {\frac {\gamma +1}{12\gamma ^{2}}}\left[{\frac {\rho _{1}w_{1}^{2}}{p_{1}}}\left(1-{\frac {w_{2}}{w_{1}}}\right)\right]^{3}\end{aligned}}}$

   donde, es la constante universal de los gases, es la relación de las capacidades caloríficas específicas, es la densidad estática, es la presión estática, es la entropía, y es el componente de la velocidad del flujo normal al "choque". Los sufijos "1" y "2" se refieren a las condiciones inicial y final respectivamente. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle w}$

   Como , esto significaría que . Como esto no es posible, significa que es imposible hacer girar un flujo a través de una sola onda de choque. El argumento puede extenderse aún más para mostrar que tal proceso de expansión puede ocurrir solo si consideramos un giro a través de un número infinito de ondas de expansión en el límite . En consecuencia, un proceso de expansión es un proceso isentrópico . ${\displaystyle w_{2}>w_{1}}$ ${\displaystyle \Delta s<0}$ ${\displaystyle \Delta s\rightarrow 0}$

2. Meyer, T. (1908). Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit strömt (Tesis doctoral) (en alemán). Universidad Georg-August, Gotinga. OCLC  77709738.
3. Prandtl, L. (1907). "Neue Untersuchungen über die strömende Bewegung der Gase und Dämpfe". Physikalische Zeitschrift (en alemán). 8 : 23–30.Reimpreso en Riegels, FW, ed. (1961). Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen . Berlín: Springer. doi :10.1007/978-3-662-11836-8_78.

4. 

   Para un objeto que se mueve a velocidades supersónicas ( ) a medida que se desplaza del punto A al B (distancia u·t), las perturbaciones que se originan en el punto A recorren una distancia c·t. El ángulo correspondiente se conoce como ángulo de Mach y las líneas que encierran la región perturbada se conocen como líneas de Mach (en el caso 2-D) o cono de Mach (en el caso 3-D). ${\displaystyle u>c}$

   Líneas de Mach (cono) y ángulo de Mach:

   Las líneas de Mach son un concepto que se encuentra habitualmente en flujos supersónicos 2-D (es decir, ). Son un par de líneas delimitadoras que separan la región de flujo perturbado de la parte no perturbada del flujo. Estas líneas se presentan en pares y están orientadas en un ángulo ${\displaystyle M\geq 1}$

   ${\displaystyle \mu =\arcsin \left({\frac {c}{u}}\right)=\arcsin \left({\frac {1}{M}}\right)}$

   con respecto a la dirección del movimiento (también conocido como ángulo de Mach ). En el caso de un campo de flujo 3D, estas líneas forman una superficie conocida como cono de Mach , con el ángulo de Mach como la mitad del ángulo del cono.

   Para entender mejor el concepto, considere el caso esbozado en la figura. Sabemos que cuando un objeto se mueve en un flujo, causa perturbaciones de presión (que viajan a la velocidad del sonido, también conocidas como ondas de Mach ). La figura muestra un objeto que se mueve del punto A al B a lo largo de la línea AB a velocidades supersónicas ( ). Para cuando el objeto llega al punto B, las perturbaciones de presión del punto A han recorrido una distancia c·t y ahora están en la circunferencia del círculo (con centro en el punto A). Hay infinitos círculos de este tipo con su centro en la línea AB, cada uno representando la ubicación de las perturbaciones debidas al movimiento del objeto. Las líneas que se propagan hacia afuera desde el punto B y son tangentes a todos estos círculos se conocen como líneas de Mach. ${\displaystyle u>c}$

   Nota: Estos conceptos tienen un significado físico únicamente para flujos supersónicos ( ). En el caso de flujos subsónicos, las perturbaciones viajarán más rápido que la fuente y el argumento de la función será mayor que uno. ${\displaystyle u\geq c}$ ${\displaystyle \arcsin()}$

5. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: Curso de física teórica, volumen 6 (Vol. 6). Elsevier.

Véase también

• Dinámica de gases
• Onda de Mach
• Choque oblicuo
• Onda de choque
• Técnica de grafo de sombras
• Fotografía de Schlieren
• Estampido sónico

Referencias

• Liepmann, Hans W.; Roshko, A. (2001) [1957]. Elementos de dinámica de gases . Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-41963-0.
• Von Mises, Richard (2004) [1958]. Teoría matemática del flujo de fluidos compresibles . Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-43941-0.
• Courant, Richard; Friedrichs, KO (1999) [1948]. Flujo supersónico y ondas de choque . Springer Science+Business Media . ISBN 0387902325.
• Anderson, John D. Jr. (enero de 2001) [1984]. Fundamentos de aerodinámica (3.ª ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 0-07-237335-0.
• Shapiro, Ascher H. (1953). Dinámica y termodinámica del flujo de fluidos compresibles, volumen 1. Ronald Press. ISBN 978-0-471-06691-0.

Enlaces externos

• Ventilador de expansión ( NASA )
• Calculadora de ventiladores de expansión Prandtl-Meyer ( subprograma Java ).