Radiodromo

En geometría , un radiódromo es la curva de persecución seguida por un punto que persigue a otro punto que se mueve linealmente. El término se deriva de la palabra latina radio (ing. rayo; habló) y la palabra griega dromos (ing. corriendo; pista de carreras), porque hay un componente radial en su análisis cinemático. La forma clásica (y más conocida) de radiódromo se conoce como "curva del perro"; Este es el camino que sigue un perro cuando nada a través de un arroyo con corriente después de algo que ha visto al otro lado. Debido a que el perro se deja llevar por la corriente, tendrá que cambiar de rumbo; también tendrá que nadar más lejos que si hubiera tomado el rumbo óptimo. Este caso fue descrito por Pierre Bouguer en 1732.

Alternativamente, un radiodromo puede describirse como el camino que sigue un perro cuando persigue una liebre, suponiendo que la liebre corre en línea recta a velocidad constante.

Análisis matemático

Introduzca un sistema de coordenadas con origen en la posición del perro en el tiempo cero y con el eje $y$ en la dirección en la que corre la liebre con velocidad constante $Vt$ . La posición de la liebre en el tiempo cero es $(A x, A y)$ con $A x > 0$ y en el tiempo $t$ es

El perro corre con velocidad constante $V d$ hacia la posición instantánea de la liebre.

La ecuación diferencial correspondiente al movimiento del perro, $(x (t), y (t))$ , es en consecuencia

Es posible obtener una expresión analítica de forma cerrada $y = f (x)$ para el movimiento del perro. De ( 2 ) y ( 3 ), se deduce que

Multiplicando ambos lados y tomando la derivada con respecto a $x$ , usando eso $T_{x}-x$

uno consigue

De esta relación se deduce que

donde $B$ es la constante de integración determinada por el valor inicial de $y$ ' en el tiempo cero, $y' (0)= sinh(B - (V t /V d) ln A x)$ , es decir,

De ( 8 ) y ( 9 ), se deduce después de algunos cálculos que

Además, dado que $y (0) = 0$ , se deduce de ( 1 ) y ( 4 ) que

Si, ahora, $V$ $t$ $\neq V$ $d$ , la relación ( 10 ) se integra a

donde $C$ es la constante de integración. Como nuevamente $y (0) = 0$ , es

Las ecuaciones ( 11 ), ( 12 ) y ( 13 ), entonces, juntas implican

Si $V$ $t$ $= V$ $d$ , la relación ( 10 ) da, en cambio,

Usando $y (0) = 0$ una vez más, se deduce que

Las ecuaciones ( 11 ), ( 15 ) y ( 16 ), entonces, juntas implican que

Si $V$ $t$ $< V$ $d$ , de ( 14 ) se deduce que

Si $Vt$ $\geq$ $Vd$ $,$ se tiene de ( 14 ) y ( 17 ) que , lo que significa que la liebre nunca será capturada, siempre que comience la caza. $\lim _{x\to A_{x}}y(x)=\infty$

Ver también

problema de ratones

Referencias

Nahin, Paul J. (2012), Persecuciones y fugas: las matemáticas de la persecución y la evasión , Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12514-5.
Gomes Teixera, Francisco (1909), Imprensa da universidade (ed.), Traité des Courbes Spéciales Remarquables, vol. 2, Coímbra, pág. 255{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)