Radical de un entero

El producto de los factores primos de un número entero dado

En teoría de números , el radical de un entero positivo n se define como el producto de los distintos números primos que dividen a n . Cada factor primo de n aparece exactamente una vez como factor de este producto:

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

El radical juega un papel central en el enunciado de la conjetura abc . ^[1]

Ejemplos

Los números radicales para los primeros enteros positivos son

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (secuencia A007947 en la OEIS ).

Por ejemplo, $${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

y por lo tanto $${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

Propiedades

La función es multiplicativa (pero no completamente multiplicativa ). ${\displaystyle \mathrm {rad} }$

El radical de cualquier número entero es el mayor divisor libre de cuadrados de y por lo tanto también se describe como el núcleo libre de cuadrados de . ^[2] No existe ningún algoritmo de tiempo polinomial conocido para calcular la parte libre de cuadrados de un número entero. ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

La definición se generaliza al divisor libre más grande de , , que son funciones multiplicativas que actúan sobre potencias primas como ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$

$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

Los casos están tabulados en OEIS : A007948 y OEIS : A058035 . ${\displaystyle t=3}$ ${\displaystyle t=4}$

La noción de radical aparece en la conjetura abc , que establece que, para cualquier , existe un finito tal que, para todos los triples de enteros positivos coprimos , , y que satisfacen , ^[1] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a+b=c}$

$${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

Para cualquier entero , los elementos nilpotentes del anillo finito son todos los múltiplos de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$

La serie de Dirichlet es

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$

Referencias

1. Gowers, Timothy (2008). "V.1 La conjetura ABC". The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. pág. 681.
2. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A007947". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
3. Adleman, Leonard M. ; McCurley, Kevin S. "Problemas abiertos en complejidad teórica de números, II". Teoría algorítmica de números: primer simposio internacional, ANTS-I Ithaca, NY, EE. UU., 6-9 de mayo de 1994, Actas . Apuntes de clase en informática. Vol. 877. Springer. págs. 291-322. CiteSeerX 10.1.1.48.4877 . doi :10.1007/3-540-58691-1_70. MR  1322733.