raíz n-ésima

Operación aritmética inversa de la n-ésima potencia

En matemáticas , una raíz n-ésima de un número x es un número r (la raíz) que, cuando se eleva a la potencia del entero positivo n , da como resultado  x : $${\displaystyle r^{n}=\underbrace {r\times r\times \dotsb \times r} _{n{\text{ factors}}}=x.}$$

El número entero n se denomina índice o grado y el número x del que se extrae la raíz es el radicando. Una raíz de grado 2 se denomina raíz cuadrada y una raíz de grado 3, raíz cúbica . Las raíces de grado superior se denominan mediante números ordinales , como en la raíz cuarta , la raíz vigésima , etc. El cálculo de una raíz n- ésima es una extracción de raíz .

Por ejemplo, 3 es una raíz cuadrada de 9 , ya que 3 ² = 9 , y −3 también es una raíz cuadrada de 9 , ya que (−3) ² = 9 .

La raíz n -ésima de x se escribe como usando el símbolo radical o radix . La raíz cuadrada generalmente se escribe sin la n como simplemente ⁠ ⁠ . Sacar la raíz n-ésima de un número es la operación inversa de la exponenciación , ^[1] y se puede escribir como un exponente fraccionario : ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\phantom {x}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.}$$

Para un número real positivo x , denota la raíz cuadrada positiva de x y denota la raíz n- ésima real positiva . Un número real negativo − x no tiene raíces cuadradas de valor real, pero cuando x se trata como un número complejo tiene dos raíces cuadradas imaginarias , ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ , donde i es la unidad imaginaria . ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle +i{\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle -i{\sqrt {x}}}$

En general, cualquier número complejo distinto de cero tiene n raíces n -ésimas de valor complejo distintas , distribuidas equitativamente alrededor de un círculo complejo de valor absoluto constante . (La raíz n-ésima de 0 es cero con multiplicidad n , y este círculo degenera en un punto). Al extraer las raíces n- ésimas de un número complejo x puede tomarse, por tanto, como una función multivaluada . Por convención, el valor principal de esta función, llamado raíz principal y denotado ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ , se toma como la raíz n -ésima con la mayor parte real y, en el caso especial en que x es un número real negativo, la que tiene una parte imaginaria positiva . La raíz principal de un número real positivo es, por tanto, también un número real positivo. Como función , la raíz principal es continua en todo el plano complejo , excepto a lo largo del eje real negativo.

Una raíz no resuelta, especialmente una que utiliza el símbolo radical, a veces se denomina irracional [ ^2] o radical . ^[3] Cualquier expresión que contenga un radical, ya sea una raíz cuadrada, una raíz cúbica o una raíz superior, se denomina expresión radical , y si no contiene funciones trascendentales o números trascendentales se denomina expresión algebraica .

Las raíces se utilizan para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias con el criterio de la raíz . Las raíces n -ésimas de 1 se denominan raíces de la unidad y desempeñan un papel fundamental en diversas áreas de las matemáticas, como la teoría de números , la teoría de ecuaciones y la transformada de Fourier .

Historia

Un término arcaico para la operación de tomar n- ésimas raíces es radicación . ^{[4] [5]}

Definición y notación

Las cuatro raíces cuartas de −1,
ninguna de las cuales es real

Las tres raíces terceras de −1,
una de las cuales es un número real negativo

Una raíz n- ésima de un número x , donde n es un entero positivo, es cualquiera de los n números reales o complejos r cuya n- ésima potencia es x :

$${\displaystyle r^{n}=x.}$$

Todo número real positivo x tiene una única raíz n -ésima positiva, llamada raíz n- ésima principal , que se escribe . Para n igual a 2, se denomina raíz cuadrada principal y se omite la n . La raíz n- ésima también se puede representar mediante exponenciación como x ^1/n . ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Para valores pares de n , los números positivos también tienen una raíz n- ésima negativa, mientras que los números negativos no tienen una raíz n- ésima real. Para valores impares de n , cada número negativo x tiene una raíz n- ésima negativa real . Por ejemplo, −2 tiene una raíz 5-ésima real, pero −2 no tiene ninguna raíz 6-ésima real. ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots }$

Todo número x distinto de cero , real o complejo , tiene n raíces complejas n - ésimas diferentes. (En el caso de que x sea real, este recuento incluye cualquier raíz n- ésima real). La única raíz compleja de 0 es 0.

Las raíces n -ésimas de casi todos los números (todos los enteros excepto las potencias n -ésimas y todos los racionales excepto los cocientes de dos potencias n -ésimas) son irracionales . Por ejemplo,

$${\displaystyle {\sqrt {2}}=1.414213562\ldots }$$

Todas las raíces n- ésimas de números racionales son números algebraicos , y todas las raíces n- ésimas de números enteros son números enteros algebraicos .

El término "surd" se remonta a Al-Khwarizmi ( c.  825 ), quien se refirió a los números racionales e irracionales como audibles e inaudibles , respectivamente. Esto más tarde llevó a que la palabra árabe أصم ( asamm , que significa "sordo" o "mudo") para número irracional se tradujera al latín como surdus (que significa "sordo" o "mudo"). Gerardo de Cremona ( c.  1150 ), Fibonacci (1202) y luego Robert Recorde (1551) usaron el término para referirse a raíces irracionales no resueltas , es decir, expresiones de la forma , en la que y son números enteros y la expresión completa denota un número irracional. ^[6] Los números irracionales de la forma donde es racional, se denominan surdos cuadráticos puros ; los números irracionales de la forma , donde y son racionales, se denominan surdos cuadráticos mixtos . ^[7] ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {a}},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\pm {\sqrt {b}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Raíces cuadradas

El gráfico . ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}}$

La raíz cuadrada de un número x es un número r que, cuando se eleva al cuadrado , se convierte en x :

$${\displaystyle r^{2}=x.}$$

Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y −5. La raíz cuadrada positiva también se conoce como raíz cuadrada principal y se denota con un signo radical:

$${\displaystyle {\sqrt {25}}=5.}$$

Como el cuadrado de cada número real no es negativo, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales. Sin embargo, para cada número real negativo hay dos raíces cuadradas imaginarias . Por ejemplo, las raíces cuadradas de −25 son 5 i y −5 i , donde i representa un número cuyo cuadrado es −1 .

Raíces cúbicas

El gráfico . ${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}$

Una raíz cúbica de un número x es un número r cuyo cubo es x :

$${\displaystyle r^{3}=x.}$$

Todo número real x tiene exactamente una raíz cúbica real, que se escribe . Por ejemplo, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{8}}&=2\\{\sqrt[{3}]{-8}}&=-2.\end{aligned}}}$$

Cada número real tiene dos raíces cúbicas complejas adicionales.

Identidades y propiedades

Expresar el grado de una raíz n- ésima en su forma exponencial, como en , facilita la manipulación de potencias y raíces. Si es un número real no negativo , ${\displaystyle x^{1/n}}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=(a^{m})^{1/n}=a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}.}$$

Todo número no negativo tiene exactamente una raíz n- ésima real no negativa, por lo que las reglas para operaciones con radicales que involucran radicandos no negativos son sencillas dentro de los números reales: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}}$$

Pueden ocurrir sutilezas al tomar las raíces n- ésimas de números negativos o complejos . Por ejemplo:

$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad }$$

pero, más bien,

$${\displaystyle \quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.}$$

Dado que la regla se aplica estrictamente sólo a radicandos reales no negativos, su aplicación conduce a la desigualdad del primer paso anterior. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}}$

Forma simplificada de una expresión radical

Se dice que una expresión radical no anidada está en forma simplificada si ningún factor del radicando puede escribirse como una potencia mayor o igual que el índice; no hay fracciones dentro del signo radical; y no hay radicales en el denominador. ^[8]

Por ejemplo, para escribir la expresión radical en forma simplificada, podemos proceder de la siguiente manera: primero, buscamos un cuadrado perfecto debajo del signo de la raíz cuadrada y lo eliminamos: ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {32/5}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {\frac {32}{5}}}={\sqrt {\frac {16\cdot 2}{5}}}={\sqrt {16}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}=4{\sqrt {\frac {2}{5}}}}$$

A continuación, hay una fracción debajo del signo radical, que cambiamos de la siguiente manera:

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}}$$

Finalmente, eliminamos el radical del denominador de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}}$$

Cuando hay un denominador que incluye números irracionales, siempre es posible encontrar un factor para multiplicar tanto el numerador como el denominador para simplificar la expresión. ^{[9] [10]} Por ejemplo, utilizando la factorización de la suma de dos cubos :

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}.}$$

La simplificación de expresiones radicales que involucran radicales anidados puede ser bastante difícil. En particular, la desanilación no siempre es posible y, cuando es posible, puede implicar una teoría de Galois avanzada . Además, cuando la desanilación completa es imposible, no existe una forma canónica general tal que la igualdad de dos números pueda probarse simplemente observando sus expresiones canónicas.

Por ejemplo, no es obvio que

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}.}$$

Lo anterior se puede derivar mediante:

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}}$$

Sea , con p y q coprimos y enteros positivos. Entonces es racional si y solo si ambos y son enteros, lo que significa que tanto p como q son potencias n -ésimas de algún entero. ${\displaystyle r=p/q}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}={\sqrt[{n}]{p}}/{\sqrt[{n}]{q}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{q}}}$

Serie infinita

El radical o raíz puede representarse mediante la serie infinita :

$${\displaystyle (1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}}$$

con . Esta expresión se puede derivar de la serie binomial . ${\displaystyle |x|<1}$

Cálculo de raíces principales

Utilizando el método de Newton

La raíz n- ésima de un número A se puede calcular con el método de Newton , que comienza con una estimación inicial x ₀ y luego itera utilizando la relación de recurrencia

$${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}}$$

hasta que se alcance la precisión deseada. Para lograr eficiencia computacional, la relación de recurrencia se suele reescribir

$${\displaystyle x_{k+1}={\frac {n-1}{n}}\,x_{k}+{\frac {A}{n}}\,{\frac {1}{x_{k}^{n-1}}}.}$$

Esto permite tener una sola exponenciación y calcular de una vez por todas el primer factor de cada término.

Por ejemplo, para hallar la raíz quinta de 34, sustituimos n = 5, A = 34 y x ₀ = 2 (estimación inicial). Las primeras 5 iteraciones son, aproximadamente:

x0 ₌ 2

x1 = _2,025

x2 = _2.024397 ...

x3 ₌ 2,02439 7458...

x4 ₌ 2,0243974584998850425108172...

x5 = 2,02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8 _...

(Se muestran todos los dígitos correctos).

La aproximación x ₄ es precisa hasta 25 decimales y x ₅ es bueno para 51.

El método de Newton se puede modificar para producir varias fracciones continuas generalizadas para la raíz n- ésima. Por ejemplo,

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$

Cálculo dígito por dígito de las raíces principales de números decimales (base 10)

Triángulo de Pascal mostrando . ${\displaystyle P(4,1)=4}$

Basándonos en el cálculo dígito por dígito de una raíz cuadrada , se puede ver que la fórmula utilizada allí, , o , sigue un patrón que involucra al triángulo de Pascal. Para la raíz n- ésima de un número se define como el valor del elemento en la fila del Triángulo de Pascal tal que , podemos reescribir la expresión como . Para mayor comodidad, llamemos al resultado de esta expresión . Usando esta expresión más general, cualquier raíz principal positiva se puede calcular, dígito por dígito, de la siguiente manera. ${\displaystyle x(20p+x)\leq c}$ ${\displaystyle x^{2}+20xp\leq c}$ ${\displaystyle P(n,i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(4,1)=4}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}}$ ${\displaystyle y}$

Escribe el número original en forma decimal. Los números se escriben de forma similar al algoritmo de la división larga y, como en la división larga, la raíz se escribirá en la línea de arriba. Ahora separa los dígitos en grupos de dígitos que correspondan a la raíz que se está extrayendo, comenzando desde el punto decimal y yendo tanto hacia la izquierda como hacia la derecha. El punto decimal de la raíz estará sobre el punto decimal del radicando. Un dígito de la raíz aparecerá sobre cada grupo de dígitos del número original.

Comenzando con el grupo de dígitos más a la izquierda, realice el siguiente procedimiento para cada grupo:

1. Empezando por la izquierda, baje el grupo de dígitos más significativo (el más a la izquierda) que aún no se ha usado (si se han usado todos los dígitos, escriba "0" la cantidad de veces que se requiere para formar un grupo) y escríbalos a la derecha del resto del paso anterior (en el primer paso, no habrá resto). En otras palabras, multiplique el resto por y sume los dígitos del siguiente grupo. Este será el valor actual c . ${\displaystyle 10^{n}}$
2. Encuentra p y x , de la siguiente manera:
   • Sea la parte de la raíz encontrada hasta ahora , ignorando cualquier punto decimal. (Para el primer paso, y ). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle 0^{0}=1}$
   • Determinar el dígito mayor tal que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\leq c}$
   • Coloca el dígito como el siguiente dígito de la raíz, es decir, encima del grupo de dígitos que acabas de bajar. De esta manera, el siguiente p será el antiguo p por 10 más x . ${\displaystyle x}$
3. Restar para formar un nuevo resto. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c}$
4. Si el resto es cero y no hay más dígitos que eliminar, el algoritmo ha terminado. De lo contrario, vuelva al paso 1 para realizar otra iteración.

Ejemplos

Encuentra la raíz cuadrada de 152.2756.

  1 2. 3 4   / \/ 01 52.27 56 (Resultados) (Explicaciones)   01 x = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 2 + 10 1 ·2·0 1 · 1 1 ≤ 1 < 10 0 ·1·0 0 ·2 2 + 10 1 ·2·0 1 ·2 1  01 y = 1 y = 10 0 ·1·0 0 ·1 2 + 10 1 ·2·0 1 ·1 1 = 1 + 0 = 1 00 52 x = 2 10 0 ·1·1 0 · 2 2 + 10 1 ·2·1 1 · 2 1 ≤ 52 < 10 0 ·1·1 0 ·3 2 + 10 1 ·2·1 1 ·3 1  00 44 y = 44 y = 10 0 ·1·1 0 ·2 2 + 10 1 ·2·1 1 ·2 1 = 4 + 40 = 44 08 27 x = 3 10 0 ·1·12 0 · 3 2 + 10 1 ·2·12 1 · 3 1 ≤ 827 < 10 0 ·1·12 0 ·4 2 + 10 1 ·2·12 1 ·4 1  07 29 y = 729 y = 10 0 ·1·12 0 ·3 2 + 10 1 ·2·12 1 ·3 1 = 9 + 720 = 729 98 56 x = 4 10 0 ·1·123 0 · 4 2 + 10 1 ·2·123 1 · 4 1 ≤ 9856 < 10 0 ·1·123 0 ·5 2 + 10 1 ·2·123 1 ·5 1  98 56 y = 9856 y = 10 0 ·1·123 0 ·4 2 + 10 1 ·2·123 1 ·4 1 = 16 + 9840 = 9856 00 00

El algoritmo termina: la respuesta es 12.34

Encuentra la raíz cúbica de 4192 truncada a la milésima más cercana.

  1 6. 1 2 4  3 / \/ 004 192.000 000 000 (Resultados) (Explicaciones)   004 x = 1 10 0 ·1·0 0 · 1 3 + 10 1 ·3·0 1 · 1 2 + 10 2 ·3·0 2 · 1 1 ≤ 4 < 10 0 ·1·0 0 ·2 3 + 10 1 ·3·0 1 ·2 2 + 10 2 ·3·0 2 ·2 1  001 y = 1 y = 10 0 ·1·0 0 ·1 3 + 10 1 ·3·0 1 ·1 2 + 10 2 ·3·0 2 ·1 1 = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 x = 6 10 0 ·1·1 0 · 6 3 + 10 1 ·3·1 1 · 6 2 + 10 2 ·3·1 2 · 6 1 ≤ 3192 < 10 0 ·1·1 0 ·7 3 + 10 1 ·3·1 1 ·7 2 + 10 2 ·3·1 2 ·7 1  003 096 y = 3096 y = 10 0 ·1·1 0 · 6 3 + 10 1 ·3·1 1 ·6 2 + 10 2 ·3·1 2 ·6 1 = 216 + 1.080 + 1.800 = 3.096 096 000 x = 1 10 0 ·1·16 0 · 1 3 + 10 1 ·3·16 1 · 1 2 + 10 2 ·3·16 2 · 1 1 ≤ 96000 < 10 0 ·1·16 0 ·2 3 + 10 1 ·3·16 1 ·2 2 + 10 2 ·3·16 2 ·2 1  077 281 y = 77281 y = 10 0 ·1·16 0 ·1 3 + 10 1·3·16 1 ·1 2 + 10 2 ·3·16 2 ·1 1 = 1 + 480 + 76,800 = 77,281 018 719 000 x = 2 10 0 ·1·161 0 · 2 3 + 10 1 ·3·161 1 · 2 2 + 10 2 ·3·161 2 · 2 1 ≤ 18719000 < 10 0 ·1·161 0 ·3 3 + 10 1 ·3·161 1 ·3 2 + 10 2 ·3·161 2 · 3 1  015 571 928 y = 15571928 y = 10 0 ·1·161 0 ·2 3 + 10 1 ·3·161 1 ·2 2 + 10 2 ·3·161 2 ·2 1 = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928 003 147 072 000 x = 4 10 0 ·1·1612 0 · 4 3 + 10 1 ·3· 1612 1 · 4 2 + 10 2 · 3 · 1612 2 · 4 1 ≤ 3147072000 < 10 0 · 1 · 1612 0 · 5 3 + 10 1 · 3 · 1612 1 · 5 2 + 10 2 · 3 · 1612 2 · 5 1

Se ha conseguido la precisión deseada. La raíz cúbica de 4192 es 16,124...

Cálculo logarítmico

La raíz n- ésima principal de un número positivo se puede calcular utilizando logaritmos . Partiendo de la ecuación que define r como raíz n -ésima de x , es decir, con x positiva y por tanto su raíz principal r también positiva, se toman logaritmos de ambos lados (cualquier base del logaritmo servirá) para obtener ${\displaystyle r^{n}=x,}$

$${\displaystyle n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.}$$

La raíz r se recupera de esto tomando el antilogaritmo :

$${\displaystyle r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.}$$

(Nota: Esta fórmula muestra b elevado a la potencia del resultado de la división, no b multiplicado por el resultado de la división).

Para el caso en que x es negativo y n es impar, hay una raíz real r que también es negativa. Esto se puede encontrar multiplicando primero ambos lados de la ecuación definitoria por −1 para obtener y luego procediendo como antes para encontrar | r |, y usando r = −| r | . ${\displaystyle |r|^{n}=|x|,}$

Constructibilidad geométrica

Los antiguos matemáticos griegos sabían utilizar el compás y la regla para construir una longitud igual a la raíz cuadrada de una longitud dada, cuando se les proporciona una línea auxiliar de longitud unitaria. En 1837 Pierre Wantzel demostró que no se puede construir una raíz n -ésima de una longitud dada si n no es una potencia de 2. ^[11]

Raíces complejas

Todo número complejo distinto de 0 tiene n raíces n- ésimas diferentes .

Raíces cuadradas

Las raíces cuadradas de i

Las dos raíces cuadradas de un número complejo siempre son negativas entre sí. Por ejemplo, las raíces cuadradas de −4 son 2 i y −2 i , y las raíces cuadradas de i son

$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}$$

Si expresamos un número complejo en forma polar , entonces la raíz cuadrada se puede obtener tomando la raíz cuadrada del radio y dividiendo el ángulo a la mitad:

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.}$$

Una raíz principal de un número complejo se puede elegir de varias maneras, por ejemplo

$${\displaystyle {\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}}$$

que introduce un corte de rama en el plano complejo a lo largo del eje real positivo con la condición 0 ≤  θ  < 2 π , o a lo largo del eje real negativo con − π  <  θ  ≤  π .

Utilizando la primera (última) rama, se cortan las funciones de raíz cuadrada principal en el semiplano con parte imaginaria (real) no negativa. El corte de la última rama se presupone en software matemático como Matlab o Scilab . ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle z}$

Raíces de la unidad

Las tres raíces 3ras de 1

El número 1 tiene n raíces n -ésimas diferentes en el plano complejo, es decir

$${\displaystyle 1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},}$$

dónde

$${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).}$$

Estas raíces están distribuidas uniformemente alrededor del círculo unitario en el plano complejo, en ángulos que son múltiplos de . Por ejemplo, las raíces cuadradas de la unidad son 1 y −1, y las raíces cuartas de la unidad son 1, , −1 y . ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -i}$

norteLas raíces

Representación geométrica de las raíces 2.ª a 6.ª de un número complejo z , en forma polar re ^iφ  donde r = | z  | y φ = arg z . Si z es real, φ = 0 o π . Las raíces principales se muestran en negro.

Todo número complejo tiene n raíces n -ésimas diferentes en el plano complejo. Estas son

$${\displaystyle \eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},}$$

donde η es una única raíz n- ésima, y ​​1,  ω ,  ω ² , ...  ω ^{n −1} son las raíces n -ésimas de la unidad. Por ejemplo, las cuatro raíces cuartas diferentes de 2 son

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.}$$

En forma polar , una única raíz n- ésima se puede encontrar mediante la fórmula

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.}$$

Aquí r es la magnitud (el módulo, también llamado valor absoluto ) del número cuya raíz se va a tomar; si el número se puede escribir como a+bi entonces . Además, es el ángulo que se forma cuando uno gira sobre el origen en sentido antihorario desde el eje horizontal positivo hasta un rayo que va desde el origen hasta el número; tiene las propiedades de que y ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta =a/r,}$ ${\displaystyle \sin \theta =b/r,}$ ${\displaystyle \tan \theta =b/a.}$

Por lo tanto, la búsqueda de las raíces n -ésimas en el plano complejo se puede segmentar en dos pasos. Primero, la magnitud de todas las raíces n -ésimas es la raíz n -ésima de la magnitud del número original. Segundo, el ángulo entre el eje horizontal positivo y un rayo desde el origen hasta una de las raíces n -ésimas es , donde es el ángulo definido de la misma manera para el número cuya raíz se está extrayendo. Además, todas las n de las raíces n- ésimas están en ángulos igualmente espaciados entre sí. ${\displaystyle \theta /n}$ ${\displaystyle \theta }$

Si n es par, las raíces n- ésimas de un número complejo , de las cuales hay un número par, vienen en pares inversos aditivos , de modo que si un número r ₁ es una de las raíces n -ésimas, entonces r ₂ = – r ₁ es otra. Esto se debe a que al elevar el coeficiente de este último –1 a la n -ésima potencia para n par se obtiene 1: es decir, (– r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿ .

Al igual que con las raíces cuadradas, la fórmula anterior no define una función continua en todo el plano complejo, sino que tiene un corte de rama en los puntos donde θ  /  n es discontinuo.

Resolver polinomios

Se conjeturó alguna vez que todas las ecuaciones polinómicas podían resolverse algebraicamente (es decir, que todas las raíces de un polinomio podían expresarse en términos de un número finito de radicales y operaciones elementales ). Sin embargo, si bien esto es cierto para polinomios de tercer grado ( cúbicos ) y polinomios de cuarto grado ( cuárticos ), el teorema de Abel-Ruffini (1824) muestra que esto no es cierto en general cuando el grado es 5 o mayor. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación

$${\displaystyle x^{5}=x+1}$$

no puede expresarse en términos de radicales. ( cf. ecuación de quinto grado )

Prueba de irracionalidad para lo no perfectonorteel poderincógnita

Supongamos que es racional, es decir, que se puede reducir a una fracción , donde a y b son números enteros sin un factor común. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Esto significa que . ${\displaystyle x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Dado que x es un número entero, y debe compartir un factor común si . Esto significa que si , no está en su forma más simple. Por lo tanto, b debe ser igual a 1. ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

Desde y , . ${\displaystyle 1^{n}=1}$ ${\displaystyle {\frac {n}{1}}=n}$ ${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}}$

Esto significa que y, por lo tanto, . Esto implica que es un entero. Como x no es una potencia n- ésima perfecta, esto es imposible. Por lo tanto, es irracional. ${\displaystyle x=a^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$

Véase también

• Media geométrica
• Duodécima raíz de dos

Referencias

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2. Bansal, RK (2006). Nuevo enfoque de las matemáticas de la CBSE IX. Publicaciones Laxmi. pág. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.
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