En la teoría de operadores , los operadores cuasinonormales son una clase de operadores acotados definidos debilitando los requisitos de un operador normal .
Todo operador cuasimetral es un operador submetral . Todo operador cuasimetral en un espacio de Hilbert de dimensión finita es normal.
Sea A un operador acotado en un espacio de Hilbert H , entonces se dice que A es cuasimenormal si A conmuta con A*A , es decir
Un operador normal es necesariamente cuasinormal.
Sea A = UP la descomposición polar de A . Si A es cuasinormal, entonces UP = PU . Para ver esto, observe que el factor positivo P en la descomposición polar tiene la forma ( A*A ) 1 ⁄ 2 , la única raíz cuadrada positiva de A*A . La cuasinormalidad significa que A conmuta con A*A . Como consecuencia del cálculo funcional continuo para operadores autoadjuntos , A conmuta con P = ( A*A ) 1 ⁄ 2 también, es decir
Así, UP = PU en el rango de P . Por otra parte, si h ∈ H se encuentra en el núcleo de P , claramente UP h = 0. Pero PU h = 0 también, porque U es una isometría parcial cuyo espacio inicial es el cierre del rango P . Finalmente, la autoadjunción de P implica que H es la suma directa de su rango y núcleo. Por lo tanto, el argumento dado prueba UP = PU en todo H .
Por otra parte, se puede verificar fácilmente que si UP = PU , entonces A debe ser cuasinormal. Por lo tanto, el operador A es cuasinormal si y solo si UP = PU .
Cuando H es de dimensión finita, todo operador cuasinonormal A es normal. Esto se debe a que en el caso de dimensión finita, la isometría parcial U en la descomposición polar A = UP puede tomarse como unitaria. Esto entonces da
En general, una isometría parcial puede no ser extensible a un operador unitario y, por lo tanto, un operador cuasinormal no necesita ser normal. Por ejemplo, considere el desplazamiento unilateral T . T es cuasinormal porque T*T es el operador identidad. Pero T claramente no es normal.
No se sabe, en general, si un operador acotado A en un espacio de Hilbert H tiene un subespacio invariante no trivial. Sin embargo, cuando A es normal, se da una respuesta afirmativa mediante el teorema espectral . Todo operador normal A se obtiene integrando la función identidad con respecto a una medida espectral E = { E B } en el espectro de A , σ ( A ):
Para cualquier conjunto de Borel B ⊂ σ ( A ), la proyección E B conmuta con A y por lo tanto el rango de E B es un subespacio invariante de A .
Lo anterior se puede extender directamente a los operadores cuasimanormales. Decir que A conmuta con A*A es decir que A conmuta con ( A*A ) 1 ⁄ 2 . Pero esto implica que A conmuta con cualquier proyección E B en la medida espectral de ( A*A ) 1 ⁄ 2 , lo que prueba la afirmación del subespacio invariante. De hecho, se puede concluir algo más fuerte. El rango de E B es en realidad un subespacio reductor de A , es decir, su complemento ortogonal también es invariante bajo A .
