Cuantificador generalizado

Expresión que denota un conjunto de conjuntos en semántica formal

En semántica formal , un cuantificador generalizado ( CG ) es una expresión que denota un conjunto de conjuntos . Esta es la semántica estándar asignada a las frases nominales cuantificadas . Por ejemplo, el cuantificador generalizado every boy denota el conjunto de conjuntos del que cada boy es miembro: $${\displaystyle \{X\mid \forall x(x{\text{ is a boy}}\to x\in X)\}}$$

Este tratamiento de los cuantificadores ha sido esencial para lograr una semántica compositiva para oraciones que contienen cuantificadores. ^{[1] [2]}

Teoría de tipos

A menudo se utiliza una versión de la teoría de tipos para hacer explícita la semántica de diferentes tipos de expresiones. La construcción estándar define el conjunto de tipos de forma recursiva de la siguiente manera:

1. e y t son tipos.
2. Si a y b son ambos tipos, entonces también lo es ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$
3. Nada es un tipo, excepto lo que puede construirse sobre la base de las líneas 1 y 2 anteriores.

Dada esta definición, tenemos los tipos simples e y t , pero también una infinidad contable de tipos complejos, algunos de los cuales incluyen: $${\displaystyle \langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots }$$

• Las expresiones de tipo e denotan elementos del universo del discurso , el conjunto de entidades sobre las que trata el discurso. Este conjunto suele escribirse como . Entre los ejemplos de expresiones de tipo e se incluyen John y he . ${\displaystyle D_{e}}$
• Las expresiones de tipo t denotan un valor de verdad , que normalmente se representa como el conjunto , donde 0 significa "falso" y 1 significa "verdadero". Ejemplos de expresiones que a veces se dice que son de tipo t son las oraciones o proposiciones . ${\displaystyle \{0,1\}}$
• Las expresiones de tipo denotan funciones del conjunto de entidades al conjunto de valores de verdad. Este conjunto de funciones se representa como . Tales funciones son funciones características de conjuntos . Asignan cada individuo que es un elemento del conjunto a "verdadero", y todo lo demás a "falso". Es común decir que denotan conjuntos en lugar de funciones características, aunque, estrictamente hablando, esto último es más preciso. Ejemplos de expresiones de este tipo son predicados , sustantivos y algunos tipos de adjetivos . ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$ ${\displaystyle D_{t}^{D_{e}}}$
• En general, las expresiones de tipos complejos denotan funciones del conjunto de entidades de tipo al conjunto de entidades de tipo , una construcción que podemos escribir de la siguiente manera: . ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D_{b}^{D_{a}}}$

Ahora podemos asignar tipos a las palabras en nuestra oración anterior (Every boy sleeps) de la siguiente manera.

• Tipo(niño)= ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• Tipo(duerme) = ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$
• Tipo(cada) = ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle }$
• Tipo(cada niño) = ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

y así podemos ver que el cuantificador generalizado en nuestro ejemplo es de tipo ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

Así, every denota una función de un conjunto a una función de un conjunto a un valor de verdad. Dicho de otra manera, denota una función de un conjunto a un conjunto de conjuntos. Es aquella función que para cualesquiera dos conjuntos A,B , cada ( A )( B )= 1 si y solo si . ${\displaystyle A\subseteq B}$

Cálculo lambda tipificado

Una forma útil de escribir funciones complejas es el cálculo lambda . Por ejemplo, se puede escribir el significado de duerme como la siguiente expresión lambda, que es una función de un individuo x a la proposición de que x duerme . Dichos términos lambda son funciones cuyo dominio es lo que precede al período, y cuyo rango es el tipo de cosas que siguen al período. Si x es una variable que abarca elementos de , entonces el siguiente término lambda denota la función identidad sobre individuos: $${\displaystyle \lambda x.\mathrm {sleep} '(x)}$$ ${\displaystyle D_{e}}$ $${\displaystyle \lambda x.x}$$

Ahora podemos escribir el significado de cada con el siguiente término lambda, donde X,Y son variables de tipo : ${\displaystyle \langle e,t\rangle }$ $${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y}$$

Si abreviamos el significado de niño y duerme como " B " y " S ", respectivamente, tenemos que la oración cada niño duerme ahora significa lo siguiente: Por β-reducción , y $${\displaystyle (\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)}$$ $${\displaystyle (\lambda Y.B\subseteq Y)(S)}$$ $${\displaystyle B\subseteq S}$$

La expresión every es un determinante . Combinada con un sustantivo , produce un cuantificador generalizado de tipo . ${\displaystyle \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle }$

Propiedades

Monotonía

GQs monótonos en aumento

Se dice que un cuantificador generalizado GQ es monótono creciente (también llamado implicante ascendente) si, para cada par de conjuntos X e Y , se cumple lo siguiente:

si , entonces GQ( X ) implica GQ( Y ). ${\displaystyle X\subseteq Y}$

El coeficiente de ganancia de cada niño es monótono creciente. Por ejemplo, el conjunto de cosas que corren rápido es un subconjunto del conjunto de cosas que corren . Por lo tanto, la primera oración a continuación implica la segunda:

1. Cada niño corre rápido.
2. Todo niño corre.

GQs decrecientes y monótonos

Se dice que una GQ es monótona decreciente (también llamada implicante descendente ) si, para cada par de conjuntos X e Y , se cumple lo siguiente:

Si , entonces GQ( Y ) implica GQ( X ). ${\displaystyle X\subseteq Y}$

Un ejemplo de un GQ monótono decreciente es no boy . Para este GQ tenemos que la primera oración a continuación implica la segunda.

1. Ningún niño corre.
2. Ningún niño corre rápido.

El término lambda para el determinante no es el siguiente. Indica que los dos conjuntos tienen una intersección vacía . Los GQ decrecientes monótonos se encuentran entre las expresiones que pueden autorizar un elemento de polaridad negativa , como cualquier . Los GQ crecientes monótonos no autorizan elementos de polaridad negativa. $${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset }$$

1. Bueno: Ningún niño tiene dinero .
2. Malo: *Cada chico tiene dinero .

GQ no monótonos

Se dice que una GQ no es monótona si no es ni monótona creciente ni monótona decreciente. Un ejemplo de una GQ de este tipo es exactamente tres chicos . Ninguna de las siguientes oraciones implica a la otra.

1. Exactamente tres estudiantes corrieron.
2. Exactamente tres estudiantes corrieron rápido.

La primera oración no implica la segunda. El hecho de que el número de estudiantes que corrieron sea exactamente tres no implica que cada uno de estos estudiantes corriera rápido , por lo que el número de estudiantes que lo hicieron puede ser menor que 3. Por el contrario, la segunda oración no implica la primera. La oración exactamente tres estudiantes corrieron rápido puede ser verdadera, aunque el número de estudiantes que simplemente corrieron (es decir, no tan rápido) sea mayor que 3.

El término lambda para el determinante (complejo) exactamente tres es el siguiente: dice que la cardinalidad de la intersección entre los dos conjuntos es igual a 3. $${\displaystyle \lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3}$$

Conservatividad

Se dice que un determinante D es conservativo si se cumple la siguiente equivalencia: Por ejemplo, las dos oraciones siguientes son equivalentes. $${\displaystyle D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)}$$

1. Todo niño duerme.
2. Cada niño es un niño que duerme.

Se ha propuesto que todos los determinantes (en todos los lenguajes naturales) son conservadores. ^[2] La expresión solo no es conservadora. Las dos oraciones siguientes no son equivalentes. Pero, de hecho, no es común analizar solo como determinante . Más bien, se trata de manera estándar como un adverbio sensible al foco .

1. Sólo los niños duermen.
2. Sólo los niños son niños que duermen.

Véase también

• Alcance (semántica formal)
• Cuantificador de Lindström
• Cuantificador de ramificación

Referencias

1. Montague, Richard (1974). "El tratamiento adecuado de la cuantificación en inglés". En Kulas, J.; Fetzer, JH; Rankin, TL (eds.). Filosofía, lenguaje e inteligencia artificial (PDF) . Estudios en sistemas cognitivos. Vol. 2. Springer, Dordrecht. págs. 141–162. doi :10.1007/978-94-009-2727-8_7. ISBN 978-94-010-7726-2.
2. Barwise, Jon ; Cooper, Robin (1981). "Cuantificadores generalizados y lenguaje natural". Lingüística y filosofía . 4 (2): 159–219. doi :10.1007/BF00350139.

Lectura adicional

• Stanley Peters; Dag Westerståhl (2006). Cuantificadores en el lenguaje y la lógica . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-929125-0.
• Antonio Badia (2009). Cuantificadores en acción: cuantificación generalizada en lenguajes de consulta, lógicos y naturales . Springer. ISBN 978-0-387-09563-9.
• Wągiel M (2021). Cuantificación subatómica (pdf) . Berlín: Language Science Press. doi : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN. 978-3-98554-011-2.

Enlaces externos

• Dag Westerståhl, 2011. 'Cuantificadores generalizados'. Stanford Encyclopedia of Philosophy .