Factor de descuento estocástico

El concepto de factor de descuento estocástico (FDE) se utiliza en economía financiera y finanzas matemáticas . El nombre deriva del hecho de que el precio de un activo se puede calcular "descontando" el flujo de efectivo futuro mediante el factor estocástico y luego tomando la expectativa. ^[1] Esta definición es de importancia fundamental en la fijación de precios de activos . ${\displaystyle {\tilde {x}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

Si hay n activos con precios iniciales al comienzo de un período y pagos al final del período (todas las x son variables aleatorias (estocásticas) ), entonces SDF es cualquier variable aleatoria que satisface ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1},\ldots ,{\tilde {x}}_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}}_{i})=p_{i},{\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

El factor de descuento estocástico a veces se denomina núcleo de precios , ya que, si la expectativa se escribe como una integral, puede interpretarse como la función del núcleo en una transformación integral . ^[2] Otros nombres que a veces se utilizan para el factor de descuento estocástico son " tasa marginal de sustitución " (la relación de utilidad de los estados , cuando la utilidad es separable y aditiva, aunque se descuenta mediante la tasa neutral al riesgo), "cambio de medida", " deflactor de precios de estado " o " densidad de precios de estado ". ^[2] ${\displaystyle E({\tilde {m}}\,{\tilde {x}}_{i})}$ ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

Propiedades

La existencia de una SDF es equivalente a la ley del precio único ; ^[1] de manera similar, la existencia de una SDF estrictamente positiva es equivalente a la ausencia de oportunidades de arbitraje (ver Teorema fundamental de fijación de precios de activos ). Siendo este el caso, entonces si es positivo, al usar para denotar el rendimiento, podemos reescribir la definición como ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}_{i}={\tilde {x}}_{i}/p_{i}}$

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {R}}_{i})=1,\quad \forall i,}$

Y esto implica

${\displaystyle E\left[{\tilde {m}}({\tilde {R}}_{i}-{\tilde {R}}_{j})\right]=0,\quad \forall i,j.}$

Además, si existe una cartera formada por los activos, entonces el SDF satisface

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}})=p,\quad E({\tilde {m}}{\tilde {R}})=1.}$

Mediante una identidad estándar simple sobre covarianzas , tenemos

${\displaystyle 1=\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}})+E({\tilde {m}})E({\tilde {R}}).}$

Supongamos que existe un activo libre de riesgo. Entonces implica . Sustituyendo esto en la última expresión y reordenando, obtenemos la siguiente fórmula para la prima de riesgo de cualquier activo o cartera con un rendimiento : ${\displaystyle {\tilde {R}}=R_{f}}$ ${\displaystyle E({\tilde {m}})=1/R_{f}}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}}$

${\displaystyle E({\tilde {R}})-R_{f}=-R_{f}\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}}).}$

Esto demuestra que las primas de riesgo están determinadas por covarianzas con cualquier SDF. ^[1]

Véase también

Con destino a Hansen y Jagannathan

Referencias

1. Kerry E. Back (2010). Teoría de la fijación de precios de activos y elección de cartera . Oxford University Press.
2. Cochrane, John H. (2001). Fijación de precios de activos . Princeton University Press. pág. 9.