Pseudoconvexidad

En matemáticas , más precisamente en la teoría de funciones de varias variables complejas , un conjunto pseudoconvexo es un tipo especial de conjunto abierto en el espacio complejo n -dimensional C ⁿ . Los conjuntos pseudoconvexos son importantes porque permiten la clasificación de dominios de holomorfia .

Dejar

${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

ser un dominio, es decir, un subconjunto abierto y conectado . Se dice que es pseudoconvexo (o pseudoconvexo de Hartog ) si existe una función plurisubarmónica continua tal que el conjunto ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \{z\in G\mid \varphi (z)<x\}}$

es un subconjunto relativamente compacto de para todos los números reales. En otras palabras, un dominio es pseudoconvexo si tiene una función de agotamiento plurisubarmónica continua. Todo conjunto (geométricamente) convexo es pseudoconvexo. Sin embargo, existen dominios pseudoconvexos que no son geométricamente convexos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle G}$

Cuando tiene un límite (dos veces continuamente diferenciable ) , esta noción es la misma que la pseudoconvexidad de Levi, con la que es más fácil trabajar. Más específicamente, con una frontera, se puede demostrar que tiene una función definitoria, es decir, que existe cuál es tal que , y . Ahora, es pseudoconvexo sif para cada y en el espacio tangente complejo en p, es decir, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle G=\{\rho <0\}}$ ${\displaystyle \partial G=\{\rho =0\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in \partial G}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, tenemos

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$

La definición anterior es análoga a las definiciones de convexidad en Análisis Real.

Si no tiene un límite, el siguiente resultado de aproximación puede resultar útil. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Proposición 1 Si es pseudoconvexo, entonces existen dominios pseudoconvexos acotados , fuertemente de Levi con límite ( suave ) que son relativamente compactos en , tales que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{k}\subset G}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}.}$

Esto se debe a que una vez que tenemos un as en la definición, podemos encontrar una función de agotamiento C ^{∞ .} ${\displaystyle \varphi }$

El caso n = 1

En una dimensión compleja, todo dominio abierto es pseudoconvexo. Por tanto, el concepto de pseudoconvexidad es más útil en dimensiones superiores a 1.

Ver también

• Poliedro analítico
• Eugenio Elia Levi
• Casco holomorfamente convexo
• colector de piedra

Referencias

• Bremermann, HJ (1956). "Convexidad compleja". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 82 (1): 17–51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR  1992976.
• Lars Hörmander , Introducción al análisis complejo en varias variables , Holanda Septentrional, 1990. ( ISBN 0-444-88446-7 ). 
• Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Siu, Yum Tong (1978). "La pseudoconvexidad y el problema de Levi". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 84 (4): 481–513. doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14483-8 . SEÑOR  0477104.
• Catlin, David (1983). "Condiciones necesarias para la subellipticidad del ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} -Problema de Neumann". Anales de Matemáticas . 117 (1): 147-171. doi :10.2307/2006974. JSTOR  2006974.
• Zimmer, Andrés (2019). "Caracterizando una fuerte pseudoconvexidad, obstrucciones a los biholomorfismos y exponentes de Lyapunov". Annalen Matemáticas . 374 (3–4): 1811–1844. arXiv : 1703.01511 . doi :10.1007/s00208-018-1715-7. S2CID  253714537.
• Fornæss, John; Mundo, Erlend (2018). "Un dominio no estrictamente pseudoconvexo para el cual la función de compresión tiende a 1 hacia el límite". Revista Pacífico de Matemáticas . 297 : 79–86. arXiv : 1611.04464 . doi :10.2140/pjm.2018.297.79. S2CID  119149200.

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enlaces externos

• Range, R. Michael (febrero de 2012), "¿QUÉ ES... un dominio pseudoconvexo?" (PDF) , Avisos de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 59 (2): 301–303, doi : 10.1090/noti798
• "Pseudoconvexo y pseudocóncavo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]