En matemáticas constructivas , pseudoorden es el nombre que se le da a ciertas relaciones binarias apropiadas para modelar ordenamientos continuos.
En matemáticas clásicas, sus axiomas constituyen una formulación de un orden total estricto (también llamado orden lineal), que en ese contexto también puede definirse de otras formas equivalentes.
La teoría constructiva de los números reales es el ejemplo prototípico en el que la formulación de pseudoorden se vuelve crucial. Un número real es menor que otro si existe (se puede construir) un número racional mayor que el primero y menor que el segundo. En otras palabras, aquí x < y se cumple si existe un número racional z tal que x < z < y . Cabe destacar que, para el continuo en un contexto constructivo, la ley habitual de tricotomía no se cumple, es decir, no es automáticamente demostrable. Los axiomas en la caracterización de órdenes como este son, por lo tanto, más débiles (cuando se trabaja utilizando solo lógica constructiva) que los axiomas alternativos de un orden total estricto, que a menudo se emplean en el contexto clásico.
Un pseudoorden es una relación binaria que satisface las tres condiciones:
Existen reformulaciones constructivas comunes que hacen uso de contraposiciones y equivalencias válidas , así como . La negación del pseudoorden de dos elementos define un orden parcial reflexivo . En estos términos, la primera condición se lee
y en realidad sólo expresa la asimetría de . Implica irreflexividad , como es familiar en la teoría clásica.
La segunda condición expresa exactamente la antisimetría del orden parcial asociado,
Con las dos reformulaciones anteriores, los signos de negación pueden quedar ocultos en la definición de un pseudoorden.
Una relación de separación natural en un conjunto pseudoordenado está dada por . Con ella, la segunda condición establece exactamente que esta relación es estricta,
Junto con el primer axioma, esto significa que la igualdad puede expresarse como negación de la separación. Nótese que la negación de la igualdad es, en general, simplemente la doble negación de la separación.
Ahora bien, el silogismo disyuntivo puede expresarse como . Tal implicación lógica puede invertirse clásicamente, y entonces esta condición expresa exactamente la tricotomía. Como tal, también es una formulación de la conexidad .
El principio de no contradicción para el orden parcial establece que o, equivalentemente , para todos los elementos. De manera constructiva, la validez de la doble negación significa exactamente que no puede haber una refutación de ninguna de las disyunciones en la afirmación clásica , ya sea que esta proposición represente o no un problema decidible .
Utilizando la condición de asimetría, lo anterior también implica , la fuerte conectividad doblemente negada . En un contexto de lógica clásica, " " constituye, por tanto, un orden total (no estricto) .
La contraposición de la tercera condición expresa exactamente que la relación asociada (el orden parcial) es transitiva. Por lo tanto, esa propiedad se llama cotransitividad . Utilizando la condición de asimetría, se deriva rápidamente el teorema de que un pseudoorden también es transitivo . La transitividad es un axioma común en la definición clásica de un orden lineal.
La condición también se denomina comparación (así como linealidad débil ): para cualquier intervalo no trivial dado por algunos y algunos por encima de él, cualquier tercer elemento está por encima del límite inferior o por debajo del límite superior. Dado que esto es una implicación de una disyunción, también se vincula con la ley de tricotomía. Y, de hecho, tener un pseudoorden en un conjunto parcial Dedekind-MacNeille-completo implica el principio del tercero excluido. Esto afecta la discusión sobre la completitud en la teoría constructiva de los números reales.
En esta sección se parte del supuesto de que se trata de lógica clásica. Al menos en ese caso, se pueden demostrar las siguientes propiedades:
Si R es una relación cotransitiva, entonces
Las condiciones suficientes para que una relación cotransitiva R sea transitiva también son:
Una relación semiconexa R también es cotransitiva si es simétrica , euclidiana izquierda o derecha, transitiva o cuasititransitiva. Si la incomparabilidad con respecto a R es una relación transitiva, entonces R es cotransitiva si es simétrica, euclidiana izquierda o derecha, o transitiva.
