Cadena regular

Tipos de conjuntos triangulares de polinomios

En matemáticas , y más específicamente en álgebra computacional y teoría de eliminación , una cadena regular es un tipo particular de conjunto triangular de polinomios multivariados sobre un cuerpo, donde un conjunto triangular es una secuencia finita de polinomios tal que cada uno contiene al menos un indeterminado más que el precedente. La condición que un conjunto triangular debe satisfacer para ser una cadena regular es que, para cada k , cada cero común (en un cuerpo algebraicamente cerrado ) de los k primeros polinomios puede prolongarse a un cero común del ( k + 1) ésimo polinomio. En otras palabras, las cadenas regulares permiten resolver sistemas de ecuaciones polinómicas resolviendo ecuaciones univariadas sucesivas sin considerar diferentes casos.

Las cadenas regulares mejoran la noción de conjuntos característicos de Wu en el sentido de que proporcionan un mejor resultado con un método de cálculo similar.

Introducción

Dado un sistema lineal , se puede convertir en un sistema triangular mediante eliminación gaussiana . Para el caso no lineal, dado un sistema polinómico F sobre un cuerpo, se puede convertir (descomponer o triangularizar) en un conjunto finito de conjuntos triangulares, en el sentido de que la variedad algebraica V (F) se describe mediante estos conjuntos triangulares.

Un conjunto triangular puede simplemente describir el conjunto vacío. Para solucionar este caso degenerado, se introdujo la noción de cadena regular, independientemente por Kalkbrener (1993), Yang y Zhang (1994). Las cadenas regulares también aparecen en Chou y Gao (1992). Las cadenas regulares son conjuntos triangulares especiales que se utilizan en diferentes algoritmos para calcular descomposiciones de dimensiones no mixtas de variedades algebraicas. Sin utilizar factorización, estas descomposiciones tienen mejores propiedades que las producidas por el algoritmo de Wu . La definición original de Kalkbrener se basó en la siguiente observación: cada variedad irreducible está determinada de forma única por uno de sus puntos genéricos y las variedades pueden representarse describiendo los puntos genéricos de sus componentes irreducibles. Estos puntos genéricos están dados por cadenas regulares.

Ejemplos

Denotemos Q como el campo de números racionales. En Q [ x ₁ , x ₂ , x ₃ ] con orden de variable x ₁ < x ₂ < x ₃ ,

${\displaystyle T=\{x_{2}^{2}-x_{1}^{2},x_{2}(x_{3}-x_{1})\}}$

es un conjunto triangular y también una cadena regular. Dos puntos genéricos dados por T son ( a , a , a ) y ( a , − a , a ) donde a es trascendental sobre Q . Por lo tanto, hay dos componentes irreducibles, dadas por { x ₂ − x ₁ , x ₃ − x ₁ } y { x ₂ + x ₁ , x ₃ − x ₁ } , respectivamente. Nótese que: (1) el contenido del segundo polinomio es x ₂ , que no contribuye a los puntos genéricos representados y, por lo tanto, se puede eliminar; (2) la dimensión de cada componente es 1, el número de variables libres en la cadena regular.

Definiciones formales

Las variables en el anillo polinomial

${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

siempre se ordenan como x ₁ < ⋯ < x _n . Un polinomio no constante f en puede verse como un polinomio univariado en su variable más grande. La variable más grande en f se llama su variable principal, denotada por mvar ( f ). Sea u la variable principal de f y escríbala como ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=a_{e}u^{e}+\cdots +a_{0},}$

donde e es el grado de f con respecto a u y es el coeficiente principal de f con respecto a u . Entonces la inicial de f es y e es su grado principal. ${\displaystyle a_{e}}$ ${\displaystyle a_{e}}$

• Conjunto triangular

Un subconjunto no vacío T de es un conjunto triangular si los polinomios en T no son constantes y tienen variables principales distintas. Por lo tanto, un conjunto triangular es finito y tiene cardinalidad como máximo n . ${\displaystyle R}$

• Cadena regular

Sea T = { t ₁ , ..., t _s } un conjunto triangular tal que mvar ( t ₁ ) < ⋯ < mvar ( t _s ) , sea la inicial de t _i y h sea el producto de h _i . Entonces T es una cadena regular si ${\displaystyle h_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {resultant} (h,T)=\mathrm {resultant} (\cdots (\mathrm {resultant} (h,t_{s}),\ldots ,t_{i})\cdots )\neq 0,}$

donde cada resultante se calcula con respecto a la variable principal de t _i , respectivamente. Esta definición es de Yang y Zhang, que tiene mucho sabor algorítmico.

• Ideal cuasicomponente y saturado de una cadena regular

El cuasicomponente W ( T ) descrito por la cadena regular T es

${\displaystyle W(T)=V(T)\setminus V(h)}$, eso es,

la diferencia de conjuntos de las variedades V ( T ) y V ( h ). El objeto algebraico adjunto de una cadena regular es su ideal saturado

${\displaystyle \mathrm {sat} (T)=(T):h^{\infty }.}$

Un resultado clásico es que el cierre de Zariski de W ( T ) es igual a la variedad definida por sat( T ), es decir,

${\displaystyle {\overline {W(T)}}=V(\mathrm {sat} (T)),}$

y su dimensión es n − | T |, la diferencia del número de variables y el número de polinomios en T .

• Descomposiciones triangulares

En general, hay dos formas de descomponer un sistema polinomial F . La primera es descomponer de forma perezosa, es decir, solo representar sus puntos genéricos en el sentido (de Kalkbrener),

${\displaystyle {\sqrt {(F)}}=\bigcap _{i=1}^{e}{\sqrt {\mathrm {sat} (T_{i})}}.}$

El segundo es describir todos los ceros en el sentido de Lazard ,

${\displaystyle V(F)=\bigcup _{i=1}^{e}W(T_{i}).}$

Hay varios algoritmos disponibles para descomposiciones triangulares en ambos sentidos.

Propiedades

Sea T una cadena regular en el anillo polinomial R.

• El ideal saturado sat( T ) es un ideal no mixto con dimensión n − | T |.
• Una cadena regular posee una fuerte propiedad de eliminación en el sentido de que:

${\displaystyle \mathrm {sat} (T\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}])=\mathrm {sat} (T)\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}].}$

• Un polinomio p está en sat( T ) si y solo si p es pseudo-reducido a cero por T , es decir,

${\displaystyle p\in \mathrm {sat} (T)\iff \mathrm {prem} (p,T)=0.}$

Por lo tanto, la prueba de pertenencia para sat( T ) es algorítmica.

• Un polinomio p es un divisor de cero módulo sat( T ) si y solo si y . ${\displaystyle \mathrm {prem} (p,T)\neq 0}$ ${\displaystyle \mathrm {resultant} (p,T)=0}$

Por lo tanto, la prueba de regularidad para sat( T ) es algorítmica.

• Dado un ideal primo P , existe una cadena regular C tal que P = sat( C ).
• Si el primer elemento de una cadena regular C es un polinomio irreducible y los demás son lineales en su variable principal, entonces sat( C ) es un ideal primo.
• Por el contrario, si P es un ideal primo, entonces, después de casi todos los cambios lineales de variables, existe una cadena regular C de la forma anterior tal que P = sat( C ).
• Un conjunto triangular es una cadena regular si y sólo si es un conjunto característico de Ritt de su ideal saturado.

Véase también

• Método de Wu de conjuntos característicos
• Base de Gröbner
• Sistema semialgebraico regular
• Descomposición triangular

Referencias adicionales

• P. Aubry, D. Lazard, M. Moreno Maza. Sobre las teorías de conjuntos triangulares. Journal of Symbolic Computation, 28(1–2):105–124, 1999.
• F. Boulier y F. Lemaire y M. Moreno Maza. Teoremas conocidos sobre sistemas triangulares y el principio D5. Computación Transgresiva 2006, Granada, España.
• E. Hubert. Notas sobre conjuntos triangulares y algoritmos de descomposición por triangulación I: Sistemas polinómicos. LNCS, volumen 2630, Springer-Verlag Heidelberg.
• F. Lemaire y M. Moreno Maza y Y. Xie. La biblioteca RegularChains. Conferencia Maple 2005.
• M. Kalkbrener: Propiedades algorítmicas de anillos polinomiales. J. Symb. Comput. 26(5): 525–581 (1998).
• M. Kalkbrener: Un algoritmo euclidiano generalizado para calcular representaciones triangulares de variedades algebraicas. J. Symb. Comput. 15(2): 143–167 (1993).
• D. Wang. Cálculo de sistemas triangulares y sistemas regulares. Journal of Symbolic Computation 30(2) (2000) 221–236.
• Yang, L., Zhang, J. (1994). Búsqueda de dependencia entre ecuaciones algebraicas: un algoritmo aplicado al razonamiento automatizado. Inteligencia artificial en matemáticas, pp. 147-15, Oxford University Press.