Prueba de Shapiro-Wilk

Prueba de normalidad en estadística frecuentista.

La prueba de Shapiro-Wilk es una prueba de normalidad . Fue publicado en 1965 por Samuel Sanford Shapiro y Martin Wilk . ^[1]

Teoría

La prueba de Shapiro-Wilk prueba la hipótesis nula de que una muestra x ₁ , ..., x _n proviene de una población distribuida normalmente . El estadístico de prueba es

${\displaystyle W={\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}},}$

dónde

• ${\displaystyle x_{(i)}}$con paréntesis encerrando el índice de subíndice i es el estadístico de iésimo orden , es decir, el iésimo número más pequeño de la muestra (no debe confundirse con ). ${\displaystyle x_{i}}$
• ${\displaystyle {\overline {x}}=\left(x_{1}+\cdots +x_{n}\right)/n}$es la media muestral.

Los coeficientes vienen dados por: ^[1] ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\mathsf {T}}V^{-1} \over C},}$

donde C es una norma vectorial : ^[2]

${\displaystyle C=\|V^{-1}m\|=(m^{\mathsf {T}}V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}$

y el vector m ,

${\displaystyle m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\mathsf {T}}\,}$

está formado por los valores esperados de las estadísticas de orden de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas muestreadas de la distribución normal estándar; finalmente, es la matriz de covarianza de esas estadísticas de orden normal. ^[3] ${\displaystyle V}$

No hay nombre para la distribución de . Los valores de corte para las estadísticas se calculan mediante simulaciones de Monte Carlo. ^[2] ${\displaystyle W}$

Interpretación

La hipótesis nula de esta prueba es que la población tiene una distribución normal. Por lo tanto, si el valor p es menor que el nivel alfa elegido , entonces se rechaza la hipótesis nula y hay evidencia de que los datos probados no se distribuyen normalmente. Por otro lado, si el valor p es mayor que el nivel alfa elegido, entonces la hipótesis nula (que los datos provienen de una población distribuida normalmente) no puede rechazarse (por ejemplo, para un nivel alfa de .05, un conjunto de datos con un valor de p inferior a 0,05 rechaza la hipótesis nula de que los datos provienen de una población distribuida normalmente; en consecuencia, un conjunto de datos con un valor de p superior al valor alfa de 0,05 no rechaza la hipótesis nula de que los datos provienen de una población normalmente distribuida). ^[4]

Como la mayoría de las pruebas de significación estadística , si el tamaño de la muestra es suficientemente grande, esta prueba puede detectar incluso desviaciones triviales de la hipótesis nula (es decir, aunque puede haber algún efecto estadísticamente significativo , puede ser demasiado pequeño para tener importancia práctica); por lo tanto, normalmente es aconsejable realizar una investigación adicional del tamaño del efecto ; por ejemplo, en este caso, un gráfico Q–Q . ^[5]

Análisis de potencia

La simulación de Monte Carlo ha descubierto que Shapiro-Wilk tiene el mejor poder para un significado determinado , seguido de cerca por Anderson-Darling al comparar Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov y Lilliefors . ^[6]

Aproximación

Royston propuso un método alternativo para calcular el vector de coeficientes proporcionando un algoritmo para calcular valores que ampliaba el tamaño de la muestra de 50 a 2000. ^[7] Esta técnica se utiliza en varios paquetes de software, incluidos GraphPad Prism, Stata, ^{[8] [9]} SPSS y SAS. ^[10] Rahman y Govidarajulu ampliaron el tamaño de la muestra hasta 5.000. ^[11]

Ver también

• Prueba de Anderson-Darling
• Criterio de Cramér-von Mises
• Prueba de K-cuadrado de D'Agostino
• Prueba de Kolmogorov-Smirnov
• prueba de liliefors
• Gráfico de probabilidad normal
• Prueba de Shapiro-Francia

Referencias

1. Shapiro, SS; Wilk, MB (1965). "Una prueba de análisis de varianza para la normalidad (muestras completas)". Biometrika . 52 (3–4): 591–611. doi :10.1093/biomet/52.3-4.591. JSTOR  2333709. SEÑOR  0205384.pag. 593
2. Richard M. Dudley (2015). "Shapiro-Wilk y pruebas de normalidad relacionadas" (PDF) . Consultado el 16 de junio de 2022 .
3. Davis, CS; Stephens, MA (1978). La matriz de covarianza de las estadísticas de orden normal (PDF) (Informe técnico). Departamento de Estadística, Universidad de Stanford, Stanford, California. Informe Técnico N° 14 . Consultado el 17 de junio de 2022 .
4. "¿Cómo interpreto la normalidad de la prueba de Shapiro-Wilk?". JMP . 2004 . Consultado el 24 de marzo de 2012 .
5. Campo, Andy (2009). Descubrimiento de estadísticas utilizando SPSS (3ª ed.). Los Ángeles [es decir, Thousand Oaks, California]: Publicaciones SAGE. pag. 143.ISBN​ 978-1-84787-906-6.
6. Razali, Nornadiah; Wah, abeja Yap (2011). "Comparaciones de potencia de las pruebas de Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors y Anderson-Darling". Revista de análisis y modelado estadístico . 2 (1): 21–33 . Consultado el 30 de marzo de 2017 .
7. Royston, Patrick (septiembre de 1992). "Aproximación de la prueba Shapiro-Wilk W de no normalidad". Estadística y Computación . 2 (3): 117–119. doi :10.1007/BF01891203. S2CID  122446146.
8. Royston, Patricio. "Pruebas de Shapiro-Wilk y Shapiro-Francia". Boletín técnico de Stata, StataCorp LP . 1 (3).
9. Pruebas de normalidad de Shapiro-Wilk y Shapiro-Francia
10. Parque, Hun Myoung (2002-2008). "Análisis univariado y prueba de normalidad mediante SAS, Stata y SPSS". [hoja de trabajo] . Consultado el 29 de julio de 2023 .
11. Rahman y Govidarajulu (1997). "Una modificación de la prueba de normalidad de Shapiro y Wilk". Revista de Estadística Aplicada . 24 (2): 219–236. doi :10.1080/02664769723828.

enlaces externos

• Ejemplo resuelto usando Excel
• Algoritmo AS R94 (Shapiro Wilk) Código FORTRAN
• Análisis exploratorio mediante la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk en R
• Estadísticas reales usando Excel: la prueba ampliada de Shapiro-Wilk