Método estadístico
En estadística , el método Holm–Bonferroni , [1] también llamado método Holm o método Bonferroni–Holm , se utiliza para contrarrestar el problema de las comparaciones múltiples . Su objetivo es controlar la tasa de error por familia (FWER) y ofrece una prueba sencilla uniformemente más potente que la corrección de Bonferroni . Recibe su nombre en honor a Sture Holm, quien codificó el método, y a Carlo Emilio Bonferroni .
Motivación
Al considerar varias hipótesis, surge el problema de la multiplicidad : cuantas más hipótesis se prueban, mayor es la probabilidad de obtener errores de tipo I ( falsos positivos ). El método de Holm-Bonferroni es uno de los muchos enfoques para controlar la FWER, es decir, la probabilidad de que ocurran uno o más errores de tipo I, ajustando el criterio de rechazo para cada una de las hipótesis individuales. [ cita requerida ]
Formulación
El método es el siguiente:
- Supongamos que tiene valores p ordenados del más bajo al más alto y sus hipótesis correspondientes (hipótesis nulas). Desea que el FWER no sea mayor que un cierto nivel de significancia preestablecido .
- ¿ Es ? Si es así, rechace y continúe con el siguiente paso; de lo contrario, SALGA.
- ¿ Es ? Si es así, rechace también y continúe con el siguiente paso; de lo contrario, SALGA.
- Y así sucesivamente: para cada valor P, pruebe si . Si es así, rechace y continúe examinando los valores P más grandes; de lo contrario, SALGA.
Este método garantiza que el FWER sea como máximo , en el sentido fuerte.
Razón fundamental
La corrección simple de Bonferroni rechaza únicamente las hipótesis nulas con un valor p menor o igual a , para garantizar que la FWER, es decir, el riesgo de rechazar una o más hipótesis nulas verdaderas (es decir, de cometer uno o más errores de tipo I) sea como máximo . El coste de esta protección contra los errores de tipo I es un mayor riesgo de no rechazar una o más hipótesis nulas falsas (es decir, de cometer uno o más errores de tipo II).
El método Holm-Bonferroni también controla el FWER en , pero con un menor aumento del riesgo de error de tipo II que el método Bonferroni clásico. El método Holm-Bonferroni ordena los valores p del más bajo al más alto y los compara con los niveles alfa nominales de a (respectivamente), es decir, los valores .
- El índice identifica el primer valor p que no es lo suficientemente bajo como para validar el rechazo. Por lo tanto, se rechazan las hipótesis nulas, mientras que las hipótesis nulas no se rechazan.
- Si entonces ningún valor p fuese lo suficientemente bajo para ser rechazado, entonces no se rechaza ninguna hipótesis nula.
- Si no se pudo encontrar dicho índice , entonces todos los valores p fueron lo suficientemente bajos para ser rechazados; por lo tanto, se rechazan todas las hipótesis nulas (no se acepta ninguna).
Prueba
Sea la familia de hipótesis ordenadas por sus valores p . Sea el conjunto de índices correspondientes a las hipótesis nulas verdaderas (desconocidas), que tienen miembros.
Afirmación : Si rechazamos erróneamente alguna hipótesis verdadera, existe una hipótesis verdadera para la cual, como máximo , .
En primer lugar, observe que, en este caso, hay al menos una hipótesis verdadera, por lo que . Sea tal que es la primera hipótesis verdadera rechazada. Entonces todas las hipótesis falsas son rechazadas. Se sigue que y, por lo tanto, (1). Como se rechaza, debe ser por definición del procedimiento de prueba. Usando (1), concluimos que , como se deseaba.
Definamos entonces el evento aleatorio . Nótese que, para , ya que es una hipótesis nula verdadera, tenemos que . La subaditividad de la medida de probabilidad implica que . Por lo tanto, la probabilidad de rechazar una hipótesis verdadera es como máximo .
Prueba alternativa
El método de Holm-Bonferroni puede verse como un procedimiento de prueba cerrado , [2] con la corrección de Bonferroni aplicada localmente en cada una de las intersecciones de las hipótesis nulas.
El principio de cierre establece que una hipótesis en una familia de hipótesis es rechazada –mientras se controla el FWER en el nivel– si y solo si todas las subfamilias de las intersecciones con son rechazadas en el nivel .
El método de Holm-Bonferroni es un procedimiento abreviado , ya que realiza o menos comparaciones, mientras que el número de todas las intersecciones de hipótesis nulas a probar es del orden de . Controla el FWER en el sentido fuerte.
En el procedimiento de Holm–Bonferroni, primero probamos . Si no se rechaza, entonces la intersección de todas las hipótesis nulas tampoco se rechaza, de modo que existe al menos una hipótesis de intersección para cada una de las hipótesis elementales que no se rechaza, por lo que no rechazamos ninguna de las hipótesis elementales.
Si se rechaza en el nivel entonces todas las subfamilias de intersección que lo contienen también se rechazan, por lo tanto se rechaza. Esto se debe a que es el más pequeño en cada una de las subfamilias de intersección y el tamaño de las subfamilias es como máximo , de modo que el umbral de Bonferroni es mayor que .
El mismo razonamiento se aplica a . Sin embargo, dado que ya se rechazó, es suficiente rechazar todas las subfamilias de intersecciones de sin . Una vez que se cumple, se rechazan todas las intersecciones que contiene .
Lo mismo se aplica para cada uno .
Ejemplo
Considere cuatro hipótesis nulas con valores p no ajustados , , y , que se probarán en el nivel de significancia . Dado que el procedimiento es escalonado, primero probamos , que tiene el valor p más pequeño . El valor p se compara con , la hipótesis nula se rechaza y continuamos con la siguiente. Dado que también rechazamos y continuamos. La siguiente hipótesis no se rechaza ya que . Dejamos de probar y concluimos que y son rechazados y y no son rechazados mientras controlamos la tasa de error por familia en el nivel . Tenga en cuenta que, aunque se aplica, no se rechaza. Esto se debe a que el procedimiento de prueba se detiene una vez que ocurre una falla en el rechazo.
Extensiones
Método Holm-Šidák
Cuando las pruebas de hipótesis no son negativamente dependientes, es posible sustituir por:
resultando en una prueba ligeramente más potente.
Versión ponderada
Sean los valores p ordenados sin ajustar. Sea , corresponde a . Rechace siempre que
Equilibradopag-valores
Los valores p ajustados para el método de Holm-Bonferroni son:
En el ejemplo anterior, los valores p ajustados son , , y . Solo las hipótesis y se rechazan en el nivel .
Se pueden definir recursivamente valores p ajustados similares para el método de Holm-Šidák como , donde . Debido a la desigualdad para , el método de Holm-Šidák será más potente que el método de Holm–Bonferroni.
Los valores p ajustados ponderados son: [ cita requerida ]
Una hipótesis se rechaza en el nivel α si y solo si su valor p ajustado es menor que α. En el ejemplo anterior, en el que se utilizaron pesos iguales, los valores p ajustados son 0,03, 0,06, 0,06 y 0,02. Esta es otra forma de ver que, utilizando α = 0,05, solo las hipótesis uno y cuatro se rechazan mediante este procedimiento.
Alternativas y uso
El método de Holm-Bonferroni es "uniformemente" más potente que la corrección clásica de Bonferroni , lo que significa que siempre es al menos igual de potente.
Existen otros métodos para controlar la FWER que son más potentes que el de Holm-Bonferroni. Por ejemplo, en el procedimiento de Hochberg , el rechazo de se realiza después de encontrar el índice máximo tal que . Por lo tanto, el procedimiento de Hochberg es uniformemente más potente que el procedimiento de Holm. Sin embargo, el procedimiento de Hochberg requiere que las hipótesis sean independientes o estén sujetas a ciertas formas de dependencia positiva, mientras que el de Holm-Bonferroni se puede aplicar sin tales suposiciones. Un procedimiento de aumento similar es el procedimiento de Hommel, que es uniformemente más potente que el procedimiento de Hochberg. [3]
Nombramiento
Carlo Emilio Bonferroni no participó en la invención del método descrito aquí. Holm originalmente llamó al método "prueba de Bonferroni secuencialmente rechazante", y sólo después de algún tiempo se lo conoció como Holm-Bonferroni. Los motivos de Holm para nombrar su método en honor a Bonferroni se explican en el artículo original: "El uso de la desigualdad de Boole dentro de la teoría de inferencia múltiple se denomina generalmente técnica de Bonferroni, y por esta razón llamaremos a nuestra prueba prueba de Bonferroni secuencialmente rechazante".
Referencias
- ^ Holm, S. (1979). "Un procedimiento de prueba múltiple secuencialmente rechazante simple". Revista Escandinava de Estadística . 6 (2): 65–70. JSTOR 4615733. MR 0538597.
- ^ Marcus, R.; Peritz, E.; Gabriel, KR (1976). "Sobre procedimientos de prueba cerrados con especial referencia al análisis ordenado de varianza". Biometrika . 63 (3): 655–660. doi :10.1093/biomet/63.3.655.
- ^ Hommel, G. (1988). "Un procedimiento de prueba múltiple de rechazo por etapas basado en una prueba de Bonferroni modificada". Biometrika . 75 (2): 383–386. doi :10.1093/biomet/75.2.383. hdl : 2027.42/149272 . ISSN 0006-3444.