Prueba de Hadamard

Técnica en computación cuántica

En computación cuántica , la prueba de Hadamard es un método utilizado para crear una variable aleatoria cuyo valor esperado es la parte real esperada , donde es un estado cuántico y es una compuerta unitaria que actúa sobre el espacio de . ^[1] La prueba de Hadamard produce una variable aleatoria cuya imagen es en y cuyo valor esperado es exactamente . Es posible modificar el circuito para producir una variable aleatoria cuyo valor esperado es aplicando una compuerta después de la primera compuerta de Hadamard. ^[1] ${\displaystyle \mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {Im} \langle \psi |U|\psi \rangle }$ ${\displaystyle S^{\dagger }}$

Descripción del circuito

Para realizar la prueba de Hadamard, primero calculamos el estado . Luego aplicamos el operador unitario en condicionado al primer qubit para obtener el estado . Luego aplicamos la compuerta de Hadamard al primer qubit, obteniendo . ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle \right)\otimes \left|\psi \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle \otimes \left|\psi \right\rangle +\left|1\right\rangle \otimes U\left|\psi \right\rangle \right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left|0\right\rangle \otimes (I+U)\left|\psi \right\rangle +\left|1\right\rangle \otimes (I-U)\left|\psi \right\rangle \right)}$

Al medir el primer qubit, el resultado tiene una probabilidad de , en cuyo caso obtenemos . El resultado tiene una probabilidad de , en cuyo caso obtenemos . El valor esperado de la salida será entonces la diferencia entre las dos probabilidades, que es ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}\langle \psi |(I+U^{\dagger })(I+U)|\psi \rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \left|1\right\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{4}}\langle \psi |(I-U^{\dagger })(I-U)|\psi \rangle }$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\langle \psi |(U^{\dagger }+U)|\psi \rangle =\mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle }$

Para obtener una variable aleatoria cuya esperanza sea siga exactamente el mismo procedimiento pero comience con . ^[2] ${\displaystyle \mathrm {Im} \langle \psi |U|\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle -i\left|1\right\rangle \right)\otimes \left|\psi \right\rangle }$

La prueba de Hadamard tiene muchas aplicaciones en algoritmos cuánticos como el algoritmo Aharonov-Jones-Landau . Mediante una modificación muy simple se puede utilizar para calcular el producto interno entre dos estados y : ^[3] en lugar de empezar desde un estado basta con empezar desde el estado fundamental , y realizar dos operaciones controladas en el cúbit ancillar. Controlado en el registro ancillar siendo , aplicamos el unitario que produce en el segundo registro, y controlado en el registro ancillar estando en el estado , creamos en el segundo registro. El valor esperado de las mediciones de los cúbits ancillar conduce a una estimación de . El número de muestras necesarias para estimar el valor esperado con error absoluto es , debido a un límite de Chernoff . Este valor se puede mejorar para utilizando técnicas de estimación de amplitud. ^[3] ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi _{1}|\phi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle O\left({\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle O\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}$

Referencias

1. Dorit Aharonov Vaughan Jones , Zeph Landau (2009). "Un algoritmo cuántico polinomial para aproximar el polinomio de Jones". Algorithmica . 55 (3): 395–421. arXiv : quant-ph/0511096 . doi :10.1007/s00453-008-9168-0. S2CID  7058660.
2. quantumalgorithms.org - Prueba de Hadamard. Publicación abierta . Consultado el 27 de febrero de 2022 .
3. quantumalgorithms.org - Prueba de Hadamard modificada. Publicación abierta . Consultado el 27 de febrero de 2022 .

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