Propiedad de Opial

En matemáticas , la propiedad de Opial es una propiedad abstracta de los espacios de Banach que desempeña un papel importante en el estudio de la convergencia débil de iteraciones de aplicaciones de espacios de Banach y del comportamiento asintótico de semigrupos no lineales . La propiedad recibe su nombre del matemático polaco Zdzisław Opial.

Definiciones

Sea ( X , || ||) un espacio de Banach. Se dice que X tiene la propiedad Opial si, siempre que ( x _n ) _{n ∈ N} es una sucesión en X que converge débilmente a algún x ₀  ∈  X y x  ≠  x ₀ , se sigue que

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x_{0}\|<\liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|.}$

Alternativamente, utilizando el contrapositivo , esta condición puede escribirse como

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|\leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x_{0}\|\implies x=x_{0}.}$

Si X es el espacio dual continuo de algún otro espacio de Banach Y , entonces se dice que X tiene la propiedad Opial débil-∗ si, siempre que ( x _n ) _{n ∈ N} es una secuencia en X que converge débilmente-∗ a algún x ₀  ∈  X y x  ≠  x ₀ , se sigue que

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x_{0}\|<\liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|,}$

o, como arriba,

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|\leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x_{0}\|\implies x=x_{0}.}$

Se dice que un espacio de Banach (dual) X tiene la propiedad Opial uniforme (débil-∗) si, para cada c  > 0, existe un r  > 0 tal que

${\displaystyle 1+r\leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|}$

para cada x  ∈  X con || x || ≥ c y cada secuencia ( x _n ) _{n ∈ N} en X convergiendo débilmente (débilmente-∗) a 0 y con

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}\|\geq 1.}$

Ejemplos

• Teorema de Opial (1967): Todo espacio de Hilbert tiene la propiedad de Opial.
• Los espacios de secuencia , , tienen la propiedad Opial. ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$
• Teorema de Van Dulst (1982): para cada espacio de Banach separable existe una norma equivalente que le otorga la propiedad Opial.
• Para espacios de Banach uniformemente convexos, la propiedad Opial se cumple si y sólo si la convergencia delta coincide con la convergencia débil.

Referencias

• Opial, Zdzisław (1967). "Convergencia débil de la secuencia de aproximaciones sucesivas para aplicaciones no expansivas" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 73 (4): 591–597. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11761-0 .