En optimización matemática , la programación fraccionaria es una generalización de la programación lineal-fraccional . La función objetivo en un programa fraccionario es una relación de dos funciones que en general son no lineales. La relación a optimizar a menudo describe algún tipo de eficiencia de un sistema.
Definición
Sean funciones de valor real definidas en un conjunto . Dejar . El programa no lineal![{\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots,m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {S} _ {0}\subset \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {S} =\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}:h_{j}({\boldsymbol {x}})\leq 0,j=1 ,\ldots ,m\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} }{\text{maximize}}}\quad {\frac {f({\boldsymbol {x}})}{g( {\boldsymbol {x}})}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde en , se llama programa fraccionario.![{\displaystyle g({\boldsymbol {x}})>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {S} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Programas fraccionarios cóncavos
Un programa fraccionario en el que f es no negativo y cóncavo, g es positivo y convexo y S es un conjunto convexo se denomina programa fraccional cóncavo . Si g es afín, f no tiene por qué tener un signo restringido. El programa fraccionario lineal es un caso especial de programa fraccionario cóncavo donde todas las funciones son afines.![{\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots,m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
La función es semiestrictamente cuasicóncava en S . Si f y g son diferenciables, entonces q es pseudocóncava . En un programa fraccionario lineal, la función objetivo es pseudolineal .![{\displaystyle q({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})/g({\boldsymbol {x}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Transformación a un programa cóncavo.
Mediante la transformación , cualquier programa fraccionario cóncavo se puede transformar en el programa cóncavo equivalente sin parámetros [1]![{\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\frac {\boldsymbol {x}}{g({\boldsymbol {x}})}};t={\frac {1}{g({\boldsymbol { X}})}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {{\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\in \mathbf {S} _{0}}{\text{maximize}}}\quad &tf \left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\\{\text{sujeto a}}\quad &tg\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}} \right)\leq 1,\\&t\geq 0.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si g es afín, la primera restricción se cambia a y se puede descartar el supuesto de que g es positivo. Además, se simplifica a .![{\displaystyle tg({\frac {\boldsymbol {y}}{t}})=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g({\boldsymbol {y}})=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dualidad
El dual lagrangiano del programa cóncavo equivalente es
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\boldsymbol {u}}{\text{minimize}}}\quad &{\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{ 0}}{\operatorname {sup} }}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {u}}^{T}{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {x }})}{g({\boldsymbol {x}})}}\\{\text{sujeto a}}\quad &u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m.\end {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notas
- ^ Schaible, Siegfried (1974). "Programas duales y equivalentes convexos sin parámetros". Zeitschrift für Investigación de operaciones . 18 (5): 187–196. doi :10.1007/BF02026600. SEÑOR 0351464. S2CID 28885670.
Referencias
- Avriel, Mardoqueo; Diewert, Walter E.; Schaible, Sigfrido; Zang, Israel (1988). Concavidad Generalizada . Prensa del Pleno.
- Schaible, Siegfried (1983). "Programación fraccionada". Zeitschrift für Investigación de operaciones . 27 : 39–54. doi :10.1007/bf01916898. S2CID 28766871.