Programación fraccionaria

En optimización matemática , la programación fraccionaria es una generalización de la programación fraccionaria lineal . La función objetivo en un programa fraccionario es una relación de dos funciones que, en general, son no lineales. La relación que se va a optimizar suele describir algún tipo de eficiencia de un sistema.

Definición

Sean funciones de valor real definidas en un conjunto . Sea . El programa no lineal ${\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$ ${\displaystyle \mathbf {S} _{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} =\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}:h_{j}({\boldsymbol {x}})\leq 0,j=1,\ldots ,m\}}$

${\displaystyle {\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} }{\text{maximize}}}\quad {\frac {f({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}},}$

donde en , se llama programa fraccionario. ${\displaystyle g({\boldsymbol {x}})>0}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

Programas fraccionarios cóncavos

Un programa fraccionario en el que f es no negativo y cóncavo, g es positivo y convexo, y S es un conjunto convexo se denomina programa fraccionario cóncavo . Si g es afín, no es necesario restringir el signo de f . El programa fraccionario lineal es un caso especial de un programa fraccionario cóncavo en el que todas las funciones son afines. ${\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$

Propiedades

La función es semiestrictamente cuasiconcava en S. Si f y g son diferenciables, entonces q es pseudocóncava . En un programa fraccionario lineal, la función objetivo es pseudolineal . ${\displaystyle q({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})/g({\boldsymbol {x}})}$

Transformación a un programa cóncavo

Mediante la transformación , cualquier programa fraccionario cóncavo se puede transformar en el programa cóncavo libre de parámetros equivalente ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\frac {\boldsymbol {x}}{g({\boldsymbol {x}})}};t={\frac {1}{g({\boldsymbol {x}})}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {{\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\in \mathbf {S} _{0}}{\text{maximize}}}\quad &tf\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\\{\text{subject to}}\quad &tg\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\leq 1,\\&t\geq 0.\end{aligned}}}$

Si g es afín, la primera restricción se cambia a y se puede descartar el supuesto de que g es positivo. Además, se simplifica a . ${\displaystyle tg({\frac {\boldsymbol {y}}{t}})=1}$ ${\displaystyle g({\boldsymbol {y}})=1}$

Dualidad

El dual lagrangiano del programa cóncavo equivalente es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\boldsymbol {u}}{\text{minimize}}}\quad &{\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}}{\operatorname {sup} }}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {u}}^{T}{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}}\\{\text{subject to}}\quad &u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m.\end{aligned}}}$

Notas

1. Schaible, Siegfried (1974). "Programas duales y equivalentes convexos sin parámetros". Zeitschrift für Investigación de operaciones . 18 (5): 187–196. doi :10.1007/BF02026600. SEÑOR  0351464. S2CID  28885670.

Referencias

• Avriel, Mordecai; Diewert, Walter E.; Schaible, Siegfried; Zang, Israel (1988). Concavidad generalizada . Plenum Press.
• Schaible, Siegfried (1983). "Programación fraccionada". Zeitschrift für Investigación de operaciones . 27 : 39–54. doi :10.1007/bf01916898. S2CID  28766871.