Criterio de Lawson

Criterio para iniciar una reacción en cadena de fusión nuclear

Criterio de Lawson de importantes experimentos de fusión por confinamiento magnético

El criterio de Lawson es una figura de mérito que se utiliza en la investigación de la fusión nuclear . Compara la tasa de energía generada por las reacciones de fusión dentro del combustible de fusión con la tasa de pérdidas de energía al medio ambiente. Cuando la tasa de producción es mayor que la tasa de pérdida, el sistema producirá energía neta. Si el combustible captura una cantidad suficiente de esa energía, el sistema se volverá autosuficiente y se dice que está encendido .

El concepto fue desarrollado por primera vez por John D. Lawson en un artículo clasificado de 1955 ^[1] que fue desclasificado y publicado en 1957. ^[2] Tal como se formuló originalmente, el criterio de Lawson proporciona un valor mínimo requerido para el producto de la densidad del plasma (electrón) n _e y el " tiempo de confinamiento de energía " que conduce a la salida de energía neta. ${\displaystyle \tau _{E}}$

Un análisis posterior sugirió que una cifra de mérito más útil es el producto triple de la densidad, el tiempo de confinamiento y la temperatura del plasma T. El producto triple también tiene un valor mínimo requerido, y el nombre "criterio de Lawson" puede referirse a este valor.

El 8 de agosto de 2021, los investigadores de la Instalación Nacional de Ignición del Laboratorio Nacional Lawrence Livermore en California confirmaron haber producido la primera ignición exitosa de una reacción de fusión nuclear superando los criterios de Lawson en el experimento. ^{[3] [4]}

Balance energético

El concepto central del criterio de Lawson es el análisis del balance energético de cualquier planta de energía de fusión que utilice plasma caliente. Esto se muestra a continuación:

Potencia neta = Eficiencia × (Fusión − Pérdida de radiación − Pérdida de conducción)

1. La potencia neta es el exceso de potencia que se necesita internamente para que el proceso se lleve a cabo en cualquier planta de energía de fusión.
2. La eficiencia es la cantidad de energía que se necesita para impulsar el dispositivo y lo bien que recoge la energía de las reacciones.
3. La fusión es la tasa de energía generada por las reacciones de fusión.
4. La pérdida de radiación es la energía que se pierde en forma de luz (incluidos los rayos X ) que sale del plasma.
5. La pérdida de conducción es la energía que se pierde cuando las partículas abandonan el plasma, llevándose consigo energía.

Lawson calculó la tasa de fusión suponiendo que el reactor de fusión contiene una nube de plasma caliente que tiene una curva gaussiana de energías de partículas individuales, una distribución de Maxwell-Boltzmann caracterizada por la temperatura del plasma. Basándose en esa suposición, estimó el primer término, la energía de fusión que se produce, utilizando la ecuación de fusión volumétrica. ^[5]

Fusión = Densidad numérica del combustible A × Densidad numérica del combustible B × Sección transversal (temperatura) × Energía por reacción

1. La fusión es la tasa de energía de fusión producida por el plasma.
2. La densidad numérica es la densidad en partículas por unidad de volumen de los respectivos combustibles (o solo de un combustible, en algunos casos)
3. La sección transversal es una medida de la probabilidad de un evento de fusión, que se basa en la temperatura del plasma.
4. La energía por reacción es la energía liberada en cada reacción de fusión.

Esta ecuación se suele promediar sobre una población de iones que tiene una distribución normal . El resultado es la cantidad de energía que crea el plasma en cualquier instante del tiempo.

Lawson luego estimó ^[5] las pérdidas de radiación utilizando la siguiente ecuación:

${\displaystyle P_{B}=1.4\cdot 10^{-34}\cdot N^{2}\cdot T^{1/2}{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {cm} ^{3}}}}$

donde N es la densidad numérica de la nube y T es la temperatura. Para su análisis, Lawson ignora las pérdidas por conducción. En realidad, esto es casi imposible; prácticamente todos los sistemas pierden energía a través de la masa que sale del plasma y se lleva su energía.

Al equiparar las pérdidas de radiación y las tasas de fusión volumétrica, Lawson estimó la temperatura mínima para la fusión de la reacción deuterio - tritio (DT).

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{3}\mathrm {T} \rightarrow \,_{2}^{4}\mathrm {He} \left(3.5\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{0}^{1}\mathrm {n} \left(14.1\,\mathrm {MeV} \right)}$

ser de 30 millones de grados (2,6 keV), y para la reacción deuterio-deuterio (DD)

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{2}\mathrm {D} \rightarrow \,_{1}^{3}\mathrm {T} \left(1.0\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{1}^{1}\mathrm {p} \left(3.0\,\mathrm {MeV} \right)}$

ser de 150 millones de grados (12,9 keV). ^{[2] [6]}

Extensiones ennτmi

El tiempo de confinamiento mide la velocidad a la que un sistema pierde energía hacia su entorno. Cuanto más rápida sea la velocidad de pérdida de energía, más corto será el tiempo de confinamiento de energía. Es la densidad de energía (contenido de energía por unidad de volumen) dividida por la densidad de pérdida de potencia (velocidad de pérdida de energía por unidad de volumen): ${\displaystyle \tau _{E}}$ ${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$

${\displaystyle \tau _{E}={\frac {W}{P_{\mathrm {loss} }}}}$

Para que un reactor de fusión funcione en estado estacionario, el plasma de fusión debe mantenerse a una temperatura constante. Por lo tanto, se debe agregar energía térmica al mismo ritmo en que el plasma pierde energía para mantener las condiciones de fusión. Esta energía puede ser suministrada por las propias reacciones de fusión, dependiendo del tipo de reacción, o mediante el suministro de calor adicional a través de una variedad de métodos.

A modo de ejemplo, se derivará aquí el criterio de Lawson para la reacción DT, pero el mismo principio se puede aplicar a otros combustibles de fusión. También se supondrá que todas las especies tienen la misma temperatura, que no hay iones presentes aparte de los iones de combustible (no hay impurezas ni cenizas de helio) y que D y T están presentes en la mezcla óptima 50-50. ^La densidad iónica es entonces igual a la densidad electrónica y la densidad de energía de los electrones y los iones juntos está dada por

${\displaystyle W=3nT}$

donde es la temperatura en electronvoltios (eV) y es la densidad de partículas. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

La tasa de volumen (reacciones por volumen por tiempo) de las reacciones de fusión es ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=n_{\mathrm {d} }n_{\mathrm {t} }\langle \sigma v\rangle ={\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle }$

donde es la sección transversal de fusión , es la velocidad relativa y denota un promedio sobre la distribución de velocidad maxwelliana a la temperatura . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \langle \rangle }$ ${\displaystyle T}$

La tasa de volumen de calentamiento por fusión es , la energía de los productos de fusión cargados (los neutrones no pueden ayudar a calentar el plasma). En el caso de la reacción DT, . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }}$ ${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }=3.5\,\mathrm {MeV} }$

Criterio de Lawson, o valor mínimo de (densidad electrónica * tiempo de confinamiento de energía) requerido para el autocalentamiento, para tres reacciones de fusión. Para DT, nτ _E se minimiza cerca de la temperatura de 25 keV (300 millones de kelvin).

El criterio de Lawson requiere que el calentamiento por fusión exceda las pérdidas:

${\displaystyle fE_{\rm {ch}}\geq P_{\rm {loss}}}$

Sustituyendo en cantidades conocidas se obtiene:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle E_{\rm {ch}}\geq {\frac {3nT}{\tau _{E}}}}$

Reorganizando la ecuación obtenemos:

La cantidad es una función de la temperatura con un mínimo absoluto. Reemplazando la función por su valor mínimo se obtiene un límite inferior absoluto para el producto . Este es el criterio de Lawson. ${\displaystyle T/\langle \sigma v\rangle }$ ${\displaystyle n\tau _{E}}$

Para la reacción deuterio - tritio , el valor físico es al menos

${\displaystyle n\tau _{E}\geq 1.5\cdot 10^{20}{\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {m} ^{3}}}}$

El mínimo del producto se produce cerca de . ${\displaystyle T=26\,\mathrm {keV} }$

Extensión al “triple producto”

Una figura de mérito aún más útil es el "triple producto" de densidad, temperatura y tiempo de confinamiento, nTτ _E . Para la mayoría de los conceptos de confinamiento, ya sea inercial , de espejo o toroidal, la densidad y la temperatura se pueden variar en un rango bastante amplio, pero la presión máxima alcanzable p es una constante. Cuando tal es el caso, la densidad de potencia de fusión es proporcional a p ² <σ v >/ T  ² . Por lo tanto, la potencia de fusión máxima disponible de una máquina dada se alcanza a la temperatura T donde <σ v >/ T  ² es un máximo. Continuando con la derivación anterior, se obtiene fácilmente la siguiente desigualdad:

${\displaystyle nT\tau _{\rm {E}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$

La condición del triple producto de fusión para tres reacciones de fusión

La cantidad también es función de la temperatura con un mínimo absoluto a una temperatura ligeramente inferior a . ${\displaystyle {\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$ ${\displaystyle {\frac {T}{\langle \sigma v\rangle }}}$

En el caso de la reacción DT, el mínimo se produce en T  = 14 keV. El promedio <σ v > en esta región de temperatura se puede aproximar como ^[7]

${\displaystyle \left\langle \sigma v\right\rangle =1.1\cdot 10^{-24}T^{2}\;{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}\,{\rm {,}}\quad {\rm {T\,in\,keV}}{\rm {,}}}$

Por lo tanto, el valor mínimo del producto triple en T  = 14 keV es aproximadamente

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\geq &{\frac {12\cdot 14^{2}\cdot {\rm {keV}}^{2}}{1.1\cdot 10^{-24}{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}14^{2}\cdot 3500\cdot {\rm {keV}}}}\approx 3\cdot 10^{21}{\mbox{keV s}}/{\mbox{m}}^{3}\\\end{matrix}}(3.5\cdot 10^{28}{\mbox{K s}}/{\mbox{m}}^{3})}$

Este número no se ha conseguido todavía en ningún reactor, aunque las últimas generaciones de máquinas se han aproximado. El JT-60 informó de 1,53x10 ²¹ keV.sm ⁻³ . ^[8] Por ejemplo, el TFTR ha conseguido las densidades y las vidas medias energéticas necesarias para alcanzar la temperatura de Lawson a las temperaturas que puede crear, pero no puede crear esas temperaturas al mismo tiempo. El ITER pretende hacer ambas cosas.

En cuanto a los tokamaks , existe una motivación especial para utilizar el producto triple. Empíricamente, se ha descubierto que el tiempo de confinamiento de energía τ _E es casi proporcional a n ^1/3 / P  ^{2/3 [ cita requerida ]} . En un plasma encendido cerca de la temperatura óptima, la potencia de calentamiento P es igual a la potencia de fusión y, por lo tanto, es proporcional a n ² T  ² . El producto triple escala como

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\propto &nT\left(n^{1/3}/P^{2/3}\right)\\&\propto &nT\left(n^{1/3}/\left(n^{2}T^{2}\right)^{2/3}\right)\\&\propto &T^{-1/3}\\\end{matrix}}}$

El producto triple depende sólo débilmente de la temperatura, ya que T  ^-1/3 . Esto hace que el producto triple sea una medida adecuada de la eficiencia del esquema de confinamiento.

Confinamiento inercial

El criterio de Lawson se aplica tanto a la fusión por confinamiento inercial (ICF) como a la fusión por confinamiento magnético (MCF), pero en el caso inercial resulta más útil expresarlo de una forma diferente. Una buena aproximación para el tiempo de confinamiento inercial es el tiempo que tarda un ion en recorrer una distancia R a su velocidad térmica. ${\displaystyle \tau _{E}}$

${\displaystyle v_{th}={\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}$

donde m _i denota la masa iónica media. El tiempo de confinamiento inercial puede así aproximarse como ${\displaystyle \tau _{E}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau _{E}&\approx &{\frac {R}{v_{th}}}\\\\&=&{\frac {R}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}\\\\&=&R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{\rm {B}}T}}}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

Sustituyendo la expresión anterior en la relación ( 1 ), obtenemos

${\displaystyle {\begin{matrix}n\tau _{E}&\approx &n\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{B}T}}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {k_{\rm {B}}T}{\langle \sigma v\rangle }}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle \cdot m_{i}^{1/2}}}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle }}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

Este producto debe ser mayor que un valor relacionado con el mínimo de T  ^3/2 /<σv>. El mismo requisito se expresa tradicionalmente en términos de densidad de masa ρ  = < nm _i >:

${\displaystyle \rho \cdot R\geq 1\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}}$

Para satisfacer este criterio a la densidad del DT sólido (0,2 g/cm ³ ) se necesitaría un pulso láser de una energía increíblemente grande. Suponiendo que la energía requerida es proporcional a la masa del plasma de fusión ( _láser E ~ ρR ³ ~ ρ ⁻² ), comprimir el combustible a 10 ³ o 10 ⁴ veces la densidad del sólido reduciría la energía requerida en un factor de 10 ⁶ o 10 ⁸ , lo que la llevaría a un rango realista. Con una compresión de 10 ³ , la densidad comprimida será de 200 g/cm ³ , y el radio comprimido puede ser tan pequeño como 0,05 mm. El radio del combustible antes de la compresión sería de 0,5 mm. El gránulo inicial será quizás el doble de grande, ya que la mayor parte de la masa se eliminará durante la compresión.

La potencia de fusión multiplicada por la densidad es un buen indicador para determinar la temperatura óptima para el confinamiento magnético, pero para el confinamiento inercial es probablemente más útil el quemado fraccional del combustible. El quemado debe ser proporcional a la velocidad de reacción específica ( n ² < σv >) multiplicada por el tiempo de confinamiento (que se escala como T  ^-1/2 ) dividido por la densidad de partículas n :

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{burn-up fraction }}&\propto &n^{2}\langle \sigma v\rangle T^{-1/2}/n\\&\propto &\left(nT\right)\langle \sigma v\rangle /T^{3/2}\\\end{matrix}}}$

Por lo tanto, la temperatura óptima para la fusión por confinamiento inercial maximiza <σv>/ T ^3/2 , que es ligeramente superior a la temperatura óptima para el confinamiento magnético.

Sistemas no térmicos

El análisis de Lawson se basa en la tasa de fusión y la pérdida de energía en un plasma termalizado. Existe una clase de máquinas de fusión que no utilizan plasmas termalizados, sino que aceleran directamente los iones individuales hasta alcanzar las energías requeridas. Los ejemplos más conocidos son migma , fusor y polywell .

Cuando se aplica al fusor, el análisis de Lawson se utiliza como argumento de que las pérdidas por conducción y radiación son los principales impedimentos para alcanzar la potencia neta. Los fusores utilizan una caída de tensión para acelerar y hacer colisionar los iones, lo que da lugar a la fusión. ^[9] La caída de tensión se genera mediante jaulas de alambre, y estas jaulas conducen las partículas.

Los polywells son mejoras de este diseño, diseñados para reducir las pérdidas de conducción al eliminar las jaulas de alambre que las causan. ^[10] De todos modos, se argumenta que la radiación sigue siendo un impedimento importante. ^[11]

Véase también

• Factor de ganancia de energía de fusión ( Q )

Notas

^a Es sencillo relajar estas suposiciones. La pregunta más difícil es cómo definircuándo el ion y los electrones difieren en densidad y temperatura. Considerando que este es un cálculo de producción y pérdida de energía por iones, y que cualquier concepto de confinamiento de plasma debe contener las fuerzas de presión del plasma, parece apropiado definir la densidad (electrónica) efectivaa través de la presión (total)como. El factor dese incluye porquegeneralmente se refiere solo a la densidad de los electrones, peroaquí se refiere a la presión total. Dadas dos especies con densidades iónicas, números atómicos, temperatura iónicay temperatura electrónica, es fácil demostrar que la potencia de fusión se maximiza con una mezcla de combustible dada por. Los valores de,, y la densidad de potencia deben multiplicarse por el factor. Por ejemplo, con protones y boro () como combustible,se debe incluir otro factor de en las fórmulas. Por otro lado, para electrones fríos, todas las fórmulas deben dividirse por(sin ningún factor adicional para). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n=p/2T_{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n_{1,2}}$ ${\displaystyle Z_{1,2}}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle n_{1}/n_{2}=(1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/(1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })}$ ${\displaystyle n\tau }$ ${\displaystyle nT\tau }$ ${\displaystyle (1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })\cdot (1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/4}$ ${\displaystyle Z=5}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle Z>1}$

Referencias

1. Lawson, JD (diciembre de 1955). Algunos criterios para un reactor termonuclear útil (PDF) (Informe técnico). Atomic Energy Research Establishment, Harwell, Berkshire, Reino Unido^{[ enlace muerto ]}
2. Lawson, JD (diciembre de 1955). "Algunos criterios para un reactor termonuclear productor de energía". Actas de la Physical Society, Sección B . 70 (1): 6–10. Bibcode :1957PPSB...70....6L. doi :10.1088/0370-1301/70/1/303.
3. "Los científicos lograron una fusión nuclear autosostenible... pero ahora no pueden replicarla". Sciencealert. 16 de agosto de 2022.
4. Abu-Shawareb, H.; Acree, R.; Adams, P.; Adams, J.; Addis, B.; Aden, R.; Adrian, P.; Afeyan, BB; Aggleton, M.; Aghaian, L.; Aguirre, A.; Aikens, D.; Akre, J.; Albert, F.; Albrecht, M. (8 de agosto de 2022). "Criterio de Lawson para la ignición superado en un experimento de fusión inercial". Physical Review Letters . 129 (7): 075001. Bibcode :2022PhRvL.129g5001A. doi : 10.1103/PhysRevLett.129.075001 . hdl : 10044/1/99300 . Revista de Biología Molecular y  Genética  .
5. Spitzer, Lyman; Seeger, Raymond J. (noviembre de 1963). "Física de gases completamente ionizados". American Journal of Physics . 31 (11): 890–891. Bibcode :1963AmJPh..31..890S. doi :10.1119/1.1969155. ISSN  0002-9505.
6. "Convertidor de energía". www.phys.ksu.edu . Universidad Estatal de Kansas . Consultado el 17 de febrero de 2023 .
7. Wesson, J. (2004). "Tokamaks". Oxford Engineering Science Series (48) (3.ª ed.). Oxford: Clarendon Press.
8. "Se ha obtenido el producto de fusión triple más alto del mundo en plasmas de modo H con alto contenido de βp". Archivado desde el original el 6 de enero de 2013.
9. Hirsch, Robert L. (octubre de 1967). "Confinamiento electrostático inercial de gases de fusión ionizados". Revista de física aplicada . 38 (11): 4522–4534. Bibcode :1967JAP....38.4522H. doi :10.1063/1.1709162. ISSN  0021-8979.
10. Bussard, Robert W (2006-10-02). "El advenimiento de la fusión nuclear limpia: potencia y propulsión espaciales de alto rendimiento". 57.° Congreso Astronáutico Internacional . Reston, Virginia: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. doi :10.2514/6.iac-06-d2.8.05. ISBN. 978-1-62410-042-0.
11. Rider, Todd H. (1997-04-01). "Limitaciones fundamentales de los sistemas de fusión de plasma que no están en equilibrio termodinámico". Física de plasmas . 4 (4): 1039–1046. Bibcode :1997PhPl....4.1039R. doi :10.1063/1.872556. hdl : 1721.1/11412 . ISSN  1070-664X.

Enlaces externos

• Derivación matemática, archivada en 2019 desde el original