Orden de producto

Diagrama de Hasse del orden de productos en × ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

En matemáticas , dado un orden parcial y en un conjunto y , respectivamente, el orden producto ^{[1] [2] [3] [4]} (también llamado orden por coordenadas ^{[5] [3] [6]} u orden por componentes ^{[2] [7]} ) es un orden parcial en el producto cartesiano Dados dos pares y en declare que si y ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \sqsubseteq }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle A\times B.}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(a_{2},b_{2}\right)}$ ${\displaystyle A\times B,}$ ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)}$ ${\displaystyle a_{1}\preceq a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}\sqsubseteq b_{2}.}$

Otro ordenamiento posible es el orden lexicográfico . Es un ordenamiento total si tanto y están totalmente ordenados. Sin embargo, el orden producto de dos órdenes totales no es en general total; por ejemplo, los pares y son incomparables en el orden producto del ordenamiento consigo mismo. La combinación lexicográfica de dos órdenes totales es una extensión lineal de su orden producto, y por lo tanto el orden producto es una subrelación del orden lexicográfico. ^[3] ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle 0<1}$

El producto cartesiano con el orden del producto es el producto categórico en la categoría de conjuntos parcialmente ordenados con funciones monótonas . ^[7]

El orden del producto se generaliza a productos cartesianos arbitrarios (posiblemente infinitos). Supongamos que es un conjunto y para cada es un conjunto preordenado. Entonces, ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$El pedido anticipado del producto se define declarando para cualquieryenese ${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a}}$ ${\displaystyle i_{\bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle j_{\bullet }=\left(j_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle \prod _{a\in A}I_{a},}$

${\displaystyle i_{\bullet }\leq j_{\bullet }}$si y solo si para cada ${\displaystyle i_{a}\leq j_{a}}$ ${\displaystyle a\in A.}$

Si cada pedido es parcial, también lo es el pedido anticipado del producto. ${\displaystyle \left(I_{a},\leq \right)}$

Además, dado un conjunto, el orden del producto sobre el producto cartesiano se puede identificar con el orden de inclusión de los subconjuntos de ^[4]. ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \prod _{a\in A}\{0,1\}}$ ${\displaystyle A.}$

La noción se aplica igualmente bien a los preórdenes . El orden del producto es también el producto categórico en una serie de categorías más ricas, incluidas las redes y las álgebras de Boole . ^[7]

Véase también

• Producto directo de relaciones binarias
• Ejemplos de pedidos parciales
• Producto estrella , una forma diferente de combinar pedidos parciales
• Órdenes sobre el producto cartesiano de conjuntos totalmente ordenados
• Suma ordinal de órdenes parciales
• Espacio vectorial ordenado  – Espacio vectorial con un orden parcial

Referencias

1. Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), "4.2 Orden de productos y orden lexicográfico", Basic Posets, World Scientific, págs. 64-78, ISBN 9789810235895
2. Sudhir R. Ghorpade; Balmohan V. Limaye (2010). Un curso de cálculo y análisis multivariable . Springer. pág. 5. ISBN 978-1-4419-1621-1.
3. Egbert Harzheim (2006). Conjuntos ordenados . Springer. págs. 86-88. ISBN. 978-0-387-24222-4.
4. Victor W. Marek (2009). Introducción a las matemáticas de la satisfacibilidad . CRC Press. p. 17. ISBN 978-1-4398-0174-1.
5. Davey y Priestley, Introducción a las redes y el orden (segunda edición), 2002, pág. 18
6. Alexander Shen; Nikolai Konstantinovich Vereshchagin (2002). Teoría básica de conjuntos . American Mathematical Soc. pág. 43. ISBN 978-0-8218-2731-4.
7. Paul Taylor (1999). Fundamentos prácticos de las matemáticas . Cambridge University Press. págs. 144-145 y 216. ISBN 978-0-521-63107-5.