Proceso progresivamente medible

En matemáticas , la mensurabilidad progresiva es una propiedad de la teoría de procesos estocásticos . Un proceso progresivamente medible, aunque definido de manera bastante técnica, es importante porque implica que el proceso detenido es medible . Ser progresivamente medible es una propiedad estrictamente más fuerte que la noción de ser un proceso adaptado . ^[1] Los procesos progresivamente mensurables son importantes en la teoría de las integrales de Itô .

Definición

Dejar

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$sea ​​un espacio de probabilidad ;
• ${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$ser un espacio medible , el espacio de estados ;
• ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\mid t\geq 0\}}$sea ​​una filtración del álgebra sigma ; ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle X:[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$ser un proceso estocástico (el conjunto de índices podría ser o en lugar de ); ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$
• ${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])}$sea ​​el álgebra sigma de Borel en . ${\displaystyle [0,t]}$

Se dice que el proceso es progresivamente medible ^[2] (o simplemente progresivo ) si, para cada tiempo , la función definida por es - medible . Esto implica que es -adaptada. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [0,t]\times \Omega \to \mathbb {X} }$ ${\displaystyle (s,\omega )\mapsto X_{s}(\omega )}$ ${\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

Se dice que un subconjunto es progresivamente medible si el proceso es progresivamente medible en el sentido definido anteriormente, donde es la función indicadora de . El conjunto de todos esos subconjuntos forma un álgebra sigma en , denotada por , y un proceso es progresivamente medible en el sentido del párrafo anterior si, y solo si, es -medible. ${\displaystyle P\subseteq [0,\infty )\times \Omega }$ ${\displaystyle X_{s}(\omega ):=\chi _{P}(s,\omega )}$ ${\displaystyle \chi _{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,\infty )\times \Omega }$ ${\displaystyle \mathrm {Prog} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Prog} }$

Propiedades

• Se puede demostrar ^[1] que , el espacio de procesos estocásticos para los cuales la integral de Itô ${\displaystyle L^{2}(B)}$ ${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}}$

con respecto al movimiento browniano se define, es el conjunto de clases de equivalencia de procesos -medibles en . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathrm {Prog} }$ ${\displaystyle L^{2}([0,T]\times \Omega ;\mathbb {R} ^{n})}$

• Todo proceso adaptado con trayectorias continuas hacia la izquierda o hacia la derecha es progresivamente medible. En consecuencia, todo proceso adaptado con trayectorias càdlàg es progresivamente medible. ^[1]
• Todo proceso medible y adaptado tiene una modificación progresivamente medible. ^[1]

Referencias

1. Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Movimiento browniano y cálculo estocástico (2.ª ed.). Springer. págs. 4-5. ISBN 0-387-97655-8.
2. Pascucci, Andrea (2011). "Procesos estocásticos en tiempo continuo". Métodos de PDE y Martingala en la valoración de opciones . Serie Bocconi & Springer. Springer. p. 110. doi :10.1007/978-88-470-1781-8. ISBN 978-88-470-1780-1.S2CID118113178  .​