En probabilidad y estadística , un problema de urna es un ejercicio mental idealizado en el que algunos objetos de interés real (como átomos, personas, automóviles, etc.) se representan como bolas de colores en una urna u otro recipiente. Se pretende sacar una o más bolas de la urna; el objetivo es determinar la probabilidad de sacar un color u otro, o algunas otras propiedades. A continuación se describen varias variaciones importantes.
Un modelo de urna es un conjunto de probabilidades que describen eventos dentro de un problema de urna, o es una distribución de probabilidad , o una familia de tales distribuciones, de variables aleatorias asociadas con problemas de urna. [1]
Historia
En Ars Conjectandi (1713), Jacob Bernoulli consideró el problema de determinar, dado un número de piedras extraídas de una urna, las proporciones de piedras de diferentes colores dentro de la urna. Este problema se conocía como problema de probabilidad inversa y fue un tema de investigación en el siglo XVIII, atrayendo la atención de Abraham de Moivre y Thomas Bayes .
Bernoulli usó la palabra latina urna , que significa principalmente vasija de barro, pero también es el término usado en la antigua Roma para cualquier vasija para recoger papeletas o suertes; La palabra italiana actual para urna sigue siendo urna . La inspiración de Bernoulli puede haber sido las loterías , las elecciones o los juegos de azar que implicaban sacar bolas de un recipiente, y se ha afirmado que las elecciones en la Venecia medieval y renacentista , incluida la del dux , a menudo incluían la elección de los electores por sorteo , utilizando bolas de diferentes colores extraídas de una urna. [2]
Modelo básico de urna.
En este modelo de urna básico en teoría de la probabilidad , la urna contiene x bolas blancas e y negras, bien mezcladas. Se extrae una bola al azar de la urna y se observa su color; luego se vuelve a colocar en la urna (o no) y se repite el proceso de selección. [3]
Las posibles preguntas que se pueden responder en este modelo son:
¿Puedo inferir la proporción de bolas blancas y negras a partir de n observaciones? ¿Con qué grado de confianza?
Conociendo x e y , ¿cuál es la probabilidad de dibujar una secuencia específica (por ejemplo, una blanca seguida de una negra)?
Si sólo observo n bolas, ¿qué tan seguro puedo estar de que no hay bolas negras? (Una variación tanto de la primera como de la segunda pregunta)
Ejemplos de problemas de urna
Distribución beta binomial : como arriba, excepto que cada vez que se observa una bola, se agrega una bola adicional del mismo color a la urna. Por lo tanto, aumenta el número total de bolas en la urna. Ver modelo de urna Pólya .
Distribución binomial : la distribución del número de sorteos (ensayos) exitosos, es decir, extracción de bolas blancas, dados n sorteos con reemplazo en una urna con bolas blancas y negras. [3]
Urna Hoppe : una urna Pólya con una bola adicional llamada mutadora . Cuando se extrae el mutador, se reemplaza junto con una bola adicional de un color completamente nuevo.
Distribución hipergeométrica : las bolas no se devuelven a la urna una vez extraídas. Por tanto, el número total de canicas en la urna disminuye. A esto se le conoce como "tiro sin reposición", en oposición a "tiro con reposición".
distribución geométrica : número de sorteos antes del primer sorteo exitoso (coloreado correctamente). [3]
Reemplazo mixto/no reemplazo: la urna contiene bolas blancas y negras. Mientras que las bolas negras se apartan después del sorteo (no reemplazo), las bolas blancas se devuelven a la urna después del sorteo (reemplazo). ¿Cuál es la distribución del número de bolas negras extraídas después de m sorteos?
Distribución multinomial : hay bolas de más de dos colores. Cada vez que se extrae una bola, se devuelve antes de sacar otra bola. [3] Esto también se conoce como ' Bolas en contenedores '.
Distribución binomial negativa : número de sorteos antes de que se produzca un cierto número de fallos (sorteos mal coloreados).
^ Dodge, Yadolah (2003) Diccionario Oxford de términos estadísticos , OUP. ISBN 0-19-850994-4
^ Mowbray, Miranda y Gollmann, Dieter. "Elección del dux de Venecia: análisis de un protocolo del siglo XIII" . Consultado el 12 de julio de 2007 .
^ Modelo de urna abcde: definición simple, ejemplos y aplicaciones: el modelo de urna básico
Otras lecturas
Johnson, Norman L.; y Kotz, Samuel (1977); Modelos de urna y su aplicación: una aproximación a la teoría moderna de la probabilidad discreta , Wiley ISBN 0-471-44630-0
Mahmoud, Hosam M. (2008); Modelos de urnas Pólya , Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-4200-5983-1
