El procedimiento de cuchilla giratoria de Robertson-Webb es un procedimiento para cortar sin envidias un pastel bidimensional entre tres socios. [1] : 77–78 Solo hace dos cortes, por lo que cada socio recibe un solo trozo conectado.
Su principal ventaja sobre el anterior procedimiento de cuchillas móviles de Stromquist y el posterior procedimiento de cuchillas móviles de Barbanel-Brams es que requiere solo una cuchilla móvil. Esta ventaja aprovecha la naturaleza bidimensional de la torta.
Al principio, cada uno de los socios hace un corte vertical de modo que el pastel que está a su izquierda valga exactamente 1/3. Se elige el trozo que está más a la izquierda. Supongamos que este trozo pertenece a Alicia. Así, Alicia recibe el trozo que está más a la izquierda y su valor es exactamente 1/3. El resto se debe dividir entre los socios restantes (Bob y Carl).
Tenga en cuenta que la parte de Alice vale como máximo 1/3 y el resto vale al menos 2/3 para Bob y Carl. Por lo tanto, si Bob y Carl reciben cada uno al menos la mitad del resto, no sienten envidia. El desafío es asegurarse de que Alice no envidie a ninguno de ellos.
La solución se basa en la siguiente observación: para cada ángulo , Alicia puede colocar un cuchillo en el ángulo y cortar el resto en dos mitades iguales a sus ojos . Esto significa que Alicia puede girar un cuchillo sobre el resto de modo que las partes de los dos lados del cuchillo sean siempre iguales a sus ojos.
Cuando el cuchillo está en un ángulo de 0°, Bob (débilmente) prefiere el trozo que está por encima del cuchillo o el que está por debajo; cuando el cuchillo está en un ángulo de 180°, los trozos se invierten. Por lo tanto, según el teorema del valor intermedio , debe haber un ángulo en el que Bob crea que los trozos de ambos lados del cuchillo son iguales. En este ángulo, Bob grita "¡basta!". Se corta el pastel, Carl elige un trozo y Bob recibe el otro.
Alicia no tiene envidia porque para ella las tres piezas valen exactamente 1/3.
Bob y Carl no envidian a Alice porque su pieza vale como máximo 1/3 y la de ellos al menos (1/2)*(2/3) = 1/3.
Bob no envidia a Carl porque sus piezas sean iguales a sus ojos; Carl no envidia a Bob porque eligió la mejor pieza a sus ojos.
El procedimiento del cuchillo giratorio se puede adaptar para la división de tareas : dividir un pastel con un valor negativo: [1] : ejercicio 5.10 en el paso inicial, se debe seleccionar el corte más a la derecha , en lugar del corte más a la izquierda.
![{\displaystyle \alpha \en [0,180^{\circ }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59617ac970130c2c27f811f19cb3cf204e47a9d9)
