Problema de satisfacción de restricciones

Conjunto de objetos cuyo estado debe satisfacer límites

Los problemas de satisfacción de restricciones ( CSPs ) son cuestiones matemáticas definidas como un conjunto de objetos cuyo estado debe satisfacer un número de restricciones o limitaciones . Los CSP representan las entidades en un problema como una colección homogénea de restricciones finitas sobre variables , que se resuelve mediante métodos de satisfacción de restricciones . Los CSP son objeto de investigación tanto en inteligencia artificial como en investigación de operaciones , ya que la regularidad en su formulación proporciona una base común para analizar y resolver problemas de muchas familias aparentemente no relacionadas. Los CSP a menudo exhiben alta complejidad , requiriendo una combinación de heurísticas y métodos de búsqueda combinatoria para ser resueltos en un tiempo razonable. La programación de restricciones (CP) es el campo de investigación que se enfoca específicamente en abordar este tipo de problemas. ^{[1] [2]} Además, el problema de satisfacibilidad booleano (SAT), las teorías de módulo de satisfacibilidad (SMT), la programación entera mixta (MIP) y la programación de conjuntos de respuestas (ASP) son todos campos de investigación enfocados en la resolución de formas particulares del problema de satisfacción de restricciones.

Algunos ejemplos de problemas que pueden modelarse como un problema de satisfacción de restricciones incluyen:

• Inferencia de tipos ^{[3] [4]}
• Rompecabezas de ocho reinas
• Problema de coloración del mapa
• Problema de corte máximo ^[5]
• Sudoku , crucigramas , futoshiki , Kakuro (sumas cruzadas), Numbrix / Hidato y muchos otros acertijos de lógica.

Estos suelen incluir tutoriales de solucionadores CP , ASP, Boolean SAT y SMT. En el caso general, los problemas de restricción pueden ser mucho más difíciles y pueden no ser expresables en algunos de estos sistemas más simples. Los ejemplos de la "vida real" incluyen planificación automatizada , ^{[6] [7]} desambiguación léxica , ^{[8] [9]} musicología , ^[10] configuración de productos ^[11] y asignación de recursos . ^[12]

La existencia de una solución para un problema de solución de problemas puede considerarse un problema de decisión . Esto puede decidirse encontrando una solución, o no encontrando una solución después de una búsqueda exhaustiva ( los algoritmos estocásticos normalmente nunca llegan a una conclusión exhaustiva, mientras que las búsquedas dirigidas a menudo lo hacen, en problemas suficientemente pequeños). En algunos casos, se puede saber de antemano que el problema de solución de problemas puede tener soluciones, a través de algún otro proceso de inferencia matemática.

Definición formal

Formalmente, un problema de satisfacción de restricciones se define como un triple , donde ^[13] ${\displaystyle \langle X,D,C\rangle }$

• ${\displaystyle X=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$es un conjunto de variables,
• ${\displaystyle D=\{D_{1},\ldots ,D_{n}\}}$es un conjunto de sus respectivos dominios de valores, y
• ${\displaystyle C=\{C_{1},\ldots ,C_{m}\}}$es un conjunto de restricciones.

Cada variable puede tomar los valores del dominio no vacío . Cada restricción es a su vez un par , donde es un subconjunto de variables y es una relación -aria sobre el producto correspondiente de los dominios . Una evaluación de las variables es una función de un subconjunto de variables a un conjunto particular de valores en el subconjunto correspondiente de dominios. Una evaluación satisface una restricción si los valores asignados a las variables satisfacen la relación . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle C_{j}\in C}$ ${\displaystyle \langle t_{j},R_{j}\rangle }$ ${\displaystyle t_{j}\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{j}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \times _{i\in t_{j}}D_{i}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \langle t_{j},R_{j}\rangle }$ ${\displaystyle t_{j}}$ ${\displaystyle R_{j}}$

Una evaluación es consistente si no viola ninguna de las restricciones. Una evaluación es completa si incluye todas las variables. Una evaluación es una solución si es consistente y completa; se dice que una evaluación de este tipo resuelve el problema de satisfacción de restricciones.

Solución

Los problemas de satisfacción de restricciones en dominios finitos se resuelven típicamente utilizando una forma de búsqueda . Las técnicas más utilizadas son variantes de retroceso , propagación de restricciones y búsqueda local . Estas técnicas también se combinan a menudo, como en el método VLNS , y la investigación actual involucra otras tecnologías como la programación lineal . ^[14]

El backtracking es un algoritmo recursivo. Mantiene una asignación parcial de las variables. Inicialmente, todas las variables están sin asignar. En cada paso, se elige una variable y se le asignan todos los valores posibles por turno. Para cada valor, se comprueba la coherencia de la asignación parcial con las restricciones; en caso de coherencia, se realiza una llamada recursiva . Cuando se han probado todos los valores, el algoritmo retrocede. En este algoritmo básico de backtracking, la coherencia se define como la satisfacción de todas las restricciones cuyas variables están todas asignadas. Existen varias variantes de backtracking. El backmarking mejora la eficiencia de la comprobación de la coherencia. El backjumping permite guardar parte de la búsqueda retrocediendo "más de una variable" en algunos casos. El aprendizaje de restricciones infiere y guarda nuevas restricciones que pueden utilizarse posteriormente para evitar parte de la búsqueda. El look-ahead también se utiliza a menudo en el backtracking para intentar prever los efectos de la elección de una variable o un valor, determinando así a veces de antemano cuándo un subproblema es satisfacible o no.

Las técnicas de propagación de restricciones son métodos utilizados para modificar un problema de satisfacción de restricciones. Más precisamente, son métodos que imponen una forma de consistencia local , que son condiciones relacionadas con la consistencia de un grupo de variables y/o restricciones. La propagación de restricciones tiene varios usos. En primer lugar, convierte un problema en uno que es equivalente pero que suele ser más sencillo de resolver. En segundo lugar, puede demostrar la satisfacibilidad o insatisfacibilidad de los problemas. No se garantiza que esto suceda en general; sin embargo, siempre sucede para algunas formas de propagación de restricciones y/o para ciertos tipos de problemas. Las formas más conocidas y utilizadas de consistencia local son la consistencia de arco , la consistencia de hiperarco y la consistencia de trayectoria . El método de propagación de restricciones más popular es el algoritmo AC-3 , que impone la consistencia de arco.

Los métodos de búsqueda local son algoritmos de satisfacibilidad incompleta. Pueden encontrar una solución a un problema, pero pueden fallar incluso si el problema es satisfacible. Funcionan mejorando iterativamente una asignación completa sobre las variables. En cada paso, se cambia el valor de una pequeña cantidad de variables, con el objetivo general de aumentar la cantidad de restricciones satisfechas por esta asignación. El algoritmo de conflictos mínimos es un algoritmo de búsqueda local específico para los CSP y se basa en ese principio. En la práctica, la búsqueda local parece funcionar bien cuando estos cambios también se ven afectados por elecciones aleatorias. Se ha desarrollado una integración de la búsqueda con la búsqueda local, lo que conduce a algoritmos híbridos .

Aspectos teóricos

Complejidad computacional

Los CSP también se estudian en la teoría de la complejidad computacional , la teoría de modelos finitos y el álgebra universal . Resultó que las preguntas sobre la complejidad de los CSP se traducen en importantes preguntas algebraicas universales sobre las álgebras subyacentes. Este enfoque se conoce como el enfoque algebraico de los CSP. ^[15]

Dado que cada problema de decisión computacional es equivalente en tiempo polinomial a un CSP con una plantilla infinita, ^[16] los CSP generales pueden tener una complejidad arbitraria. En particular, también hay CSP dentro de la clase de problemas NP-intermedios , cuya existencia fue demostrada por Ladner , bajo el supuesto de que P ≠ NP .

Sin embargo, una gran clase de CSP que surgen de aplicaciones naturales satisfacen una dicotomía de complejidad, lo que significa que cada CSP dentro de esa clase está en P o es NP-completo . Estos CSP proporcionan así uno de los subconjuntos más grandes conocidos de NP que evita problemas NP-intermedios . Una dicotomía de complejidad fue probada por primera vez por Schaefer para CSP booleanos, es decir, CSP sobre un dominio de 2 elementos y donde todas las relaciones disponibles son operadores booleanos . Este resultado se ha generalizado para varias clases de CSP, más notablemente para todos los CSP sobre dominios finitos. Esta conjetura de dicotomía de dominio finito fue formulada por primera vez por Tomás Feder y Moshe Vardi, ^[17] y finalmente probada de forma independiente por Andrei Bulatov ^[18] y Dmitriy Zhuk en 2017. ^[19]

Otras clases para las que se ha confirmado una dicotomía de complejidad son

• todos los reductos de primer orden de , ^[20] ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$
• todas las reducciones de primer orden del grafo aleatorio contable , ^[21]
• todas las reducciones de primer orden del modelo compañero de la clase de todas las C-relaciones, ^[22]
• todos los reductos de primer orden del conjunto poset homogéneo universal , ^[23]
• todas las reducciones de primer orden de grafos homogéneos no dirigidos, ^[24]
• todas las reducciones de primer orden de todas las estructuras unarias, ^[25]
• todos los CSP en la clase de complejidad MMSNP. ^[26]

La mayoría de las clases de CSP que se sabe que son manejables son aquellas en las que el hipergrafo de restricciones tiene un ancho de árbol acotado , ^[27] o en las que las restricciones tienen una forma arbitraria pero existen polimorfismos ecuacionalmente no triviales del conjunto de relaciones de restricción. ^[28]

Se ha formulado una conjetura de dicotomía de dominio infinito ^{[29] para todos los CSP de reductos de estructuras homogéneas finitamente acotadas, afirmando que el CSP de dicha estructura está en P si y solo si su} clon de polimorfismo es ecuacionalmente no trivial, y NP-duro en caso contrario.

La complejidad de estos CSP de dominio infinito, así como de otras generalizaciones (CSP valorados, CSP cuantificados, CSP prometedores), sigue siendo un área de investigación activa. ^[30] [1][2]

Cada CSP también puede considerarse como un problema de contención de consultas conjuntivas . ^[31]

Problemas de función

Existe una situación similar entre las clases funcionales FP y #P . Por una generalización del teorema de Ladner , también hay problemas que no son ni FP ni #P-completos mientras FP ≠ #P. Como en el caso de decisión, un problema en el #CSP se define por un conjunto de relaciones. Cada problema toma una fórmula booleana como entrada y la tarea es calcular el número de asignaciones satisfactorias. Esto se puede generalizar aún más utilizando tamaños de dominio más grandes y adjuntando un peso a cada asignación satisfactoria y calculando la suma de estos pesos. Se sabe que cualquier problema #CSP ponderado complejo es FP o #P-duro. ^[32]

Variantes

El modelo clásico del problema de satisfacción de restricciones define un modelo de restricciones estáticas e inflexibles. Este modelo rígido es una deficiencia que dificulta la representación sencilla de los problemas. ^[33] Se han propuesto varias modificaciones de la definición básica de CSP para adaptar el modelo a una amplia variedad de problemas.

CSP dinámicos

Los CSP dinámicos ^[34] ( DCSP ) son útiles cuando la formulación original de un problema se altera de alguna manera, típicamente porque el conjunto de restricciones a considerar evoluciona debido al entorno. ^[35] Los DCSP se consideran como una secuencia de CSP estáticos, cada uno de ellos una transformación del anterior en el que se pueden agregar variables y restricciones (restricción) o eliminar (relajación). La información que se encuentra en las formulaciones iniciales del problema se puede utilizar para refinar las siguientes. El método de resolución se puede clasificar según la forma en que se transfiere la información:

• Oráculos : las soluciones encontradas para los CSP anteriores en la secuencia se utilizan como heurística para guiar la resolución del CSP actual desde cero.
• Reparación local: cada CSP se calcula a partir de la solución parcial del anterior y reparando las restricciones inconsistentes con la búsqueda local .
• Registro de restricciones: se definen nuevas restricciones en cada etapa de la búsqueda para representar el aprendizaje de un grupo inconsistente de decisiones. Esas restricciones se trasladan a los nuevos problemas de CSP.

CSP flexibles

Los CSP clásicos tratan las restricciones como duras, es decir, que son imperativas (cada solución debe satisfacerlas todas) e inflexibles (en el sentido de que deben satisfacerse por completo o, de lo contrario, se violan por completo). Los CSP flexibles relajan esos supuestos, relajando parcialmente las restricciones y permitiendo que la solución no cumpla con todas ellas. Esto es similar a las preferencias en la planificación basada en preferencias . Algunos tipos de CSP flexibles incluyen:

• MAX-CSP, donde se permite violar una serie de restricciones y la calidad de una solución se mide por la cantidad de restricciones satisfechas.
• CSP ponderado , un MAX-CSP en el que cada violación de una restricción se pondera según una preferencia predefinida. Por lo tanto, se prefiere satisfacer la restricción con mayor peso.
• Las restricciones del modelo CSP difuso son relaciones difusas en las que la satisfacción de una restricción es una función continua de los valores de sus variables, desde completamente satisfecha hasta completamente violada.

CSP descentralizados

En los DCSP ^[36] se considera que cada variable de restricción tiene una ubicación geográfica separada. Se imponen fuertes restricciones al intercambio de información entre variables, lo que requiere el uso de algoritmos completamente distribuidos para resolver el problema de satisfacción de restricciones.

Véase también

• Gráfico compuesto con restricciones
• Programación de restricciones
• Programación declarativa
• Optimización restringida (COP)
• Optimización de restricciones distribuidas
• Homomorfismo de grafos
• Conjetura de juegos únicos
• Problema de satisfacción de restricciones ponderadas (WCSP)

Referencias

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Lectura adicional

• Una breve introducción a la satisfacción de restricciones en YouTube
• Manuel Bodirsky (2021). Complejidad de la satisfacción de restricciones en el dominio infinito . Cambridge University Press. https://doi.org/10.1017/9781107337534
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• Tomás Feder, Satisfacción de restricciones: una perspectiva personal, manuscrito.
• Archivo de restricciones
• Valores de referencia de CSP satisfechos forzados del modelo RB Archivado el 25 de enero de 2021 en Wayback Machine
• Puntos de referencia: representación XML de instancias de CSP
• XCSP3: un formato basado en XML diseñado para representar instancias de CSP
• Propagación de restricciones: tesis de Guido Tack que ofrece un buen panorama de la teoría y los problemas de implementación