Un problema de complementariedad es un tipo de problema de optimización matemática . Es el problema de optimizar (minimizar o maximizar) una función de dos variables vectoriales sujetas a ciertos requisitos (restricciones) que incluyen: que el producto interno de los dos vectores debe ser igual a cero, es decir, que sean ortogonales. [1] En particular, para espacios vectoriales reales de dimensión finita, esto significa que, si uno tiene vectores X e Y con todos los componentes no negativos ( x i ≥ 0 y y i ≥ 0 para todos : en el primer cuadrante si es bidimensional, en el primer octante si es tridimensional), entonces para cada par de componentes x i e y i uno del par debe ser cero, de ahí el nombre de complementariedad . por ejemplo, X = (1, 0) e Y = (0, 2) son complementarios, pero X = (1, 1) e Y = (2, 0) no lo son. Un problema de complementariedad es un caso especial de desigualdad variacional .
Los problemas de complementariedad se estudiaron originalmente porque las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker en programación lineal y programación cuadrática constituyen un problema de complementariedad lineal (LCP) o un problema de complementariedad mixta (MCP). En 1963, Lemke y Howson demostraron que, para juegos de dos personas, calcular un punto de equilibrio de Nash es equivalente a un LCP. En 1968 Cottle y Dantzig unificaron la programación lineal y cuadrática y los juegos bimatriciales . Desde entonces, el estudio de los problemas de complementariedad y las desigualdades variacionales se ha expandido enormemente.
Las áreas de las matemáticas y las ciencias que contribuyeron al desarrollo de la teoría de la complementariedad incluyen: optimización , problemas de equilibrio , teoría de la desigualdad variacional , teoría del punto fijo , teoría de grados topológicos y análisis no lineal .
