Problemas entre primos

Crear una función meromórfica a partir de datos locales en múltiples variables

En matemáticas , los problemas de Cousin son dos cuestiones en varias variables complejas , relativas a la existencia de funciones meromórficas que se especifican en términos de datos locales. Fueron introducidos en casos especiales por Pierre Cousin en 1895. Ahora se plantean y resuelven para cualquier variedad compleja M , en términos de condiciones sobre M.

Para ambos problemas, se da una cubierta abierta de M por conjuntos U _i , junto con una función meromórfica f _i en cada U _i .

Problema del primo hermano

El primer problema de Cousin o problema de Cousin aditivo supone que cada diferencia

${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

es una función holomorfa , donde está definida. Pide una función meromórfica f en M tal que

${\displaystyle f-f_{i}}$

es holomorfa en U _i ; en otras palabras, que f comparte el comportamiento singular de la función local dada. La condición dada en la es evidentemente necesaria para esto; por lo que el problema se reduce a preguntar si es suficiente. El caso de una variable es el teorema de Mittag-Leffler sobre la prescripción de polos, cuando M es un subconjunto abierto del plano complejo . La teoría de superficies de Riemann muestra que se requerirá alguna restricción en M. El problema siempre se puede resolver en una variedad de Stein . ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

El primer problema de Cousin puede entenderse en términos de cohomología de haces de la siguiente manera. Sea K el haz de funciones meromórficas y O el haz de funciones holomorfas en M . Una sección global de K pasa a una sección global del haz cociente K / O . La pregunta inversa es el primer problema de Cousin: dada una sección global de K / O , ¿existe una sección global de K de la que surge? El problema es, por tanto, caracterizar la imagen de la función ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi (f)}$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

Por la secuencia de cohomología larga y exacta ,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} )\,\xrightarrow {\phi } \,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

es exacta, y por lo tanto el primer problema de Cousin siempre es solucionable siempre que el primer grupo de cohomología H ¹ ( M , O ) se anule. En particular, por el teorema de Cartan B , el problema de Cousin siempre es solucionable si M es una variedad de Stein.

Problema del segundo primo

El segundo problema de Cousin o problema de Cousin multiplicativo supone que cada proporción

${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$

es una función holomorfa no nula, donde está definida. Pide una función meromórfica f en M tal que

${\displaystyle f/f_{i}}$

es holomorfa y no se desvanece. El segundo problema de Cousin es una generalización multidimensional del teorema de Weierstrass sobre la existencia de una función holomorfa de una variable con ceros prescritos.

El ataque a este problema mediante la toma de logaritmos , para reducirlo al problema aditivo, encuentra una obstrucción en la forma de la primera clase de Chern (véase también la sucesión de haces exponenciales ). En términos de la teoría de haces, sea el haz de funciones holomorfas que no se anulan en ninguna parte, y el haz de funciones meromórficas que no son idénticamente cero. Estos son entonces ambos haces de grupos abelianos , y el haz cociente está bien definido. El problema multiplicativo de Cousin busca entonces identificar la imagen del mapa cociente ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

La secuencia de cohomología de haces larga y exacta asociada al cociente es

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

por lo que el segundo problema de Cousin es solucionable en todos los casos siempre que El haz cociente sea el haz de gérmenes de divisores de Cartier en M . La cuestión de si cada sección global es generada por una función meromórfica es, por tanto, equivalente a determinar si cada fibrado lineal en M es trivial . ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$

El grupo de cohomología para la estructura multiplicativa en se puede comparar con el grupo de cohomología con su estructura aditiva tomando un logaritmo. Es decir, existe una secuencia exacta de haces ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$ ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0}$

donde el haz más a la izquierda es el haz localmente constante con fibra . La obstrucción para definir un logaritmo en el nivel de H ¹ está en , de la secuencia de cohomología exacta larga ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Cuando M es una variedad de Stein, la flecha del medio es un isomorfismo porque para que una condición necesaria y suficiente en ese caso para que el segundo problema de Cousin sea siempre solucionable es que ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Véase también

• Teoremas A y B de Cartan

Referencias

• Cartan, Henri (1950). "Idéaux et módulos de funciones analíticas de variables complejas". Boletín de la Société Mathématique de France . 2 : 29–64. doi : 10.24033/bsmf.1409 .
• Chirka, EM (2001) [1994], "Problemas de primos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Cousin, P. (1895), "Sur les fonctions de n variables", Acta Math. , 19 : 1–62, doi : 10.1007/BF02402869.
• Hitotumatu, Pecado (1951). "Problemas de primos para los ideales y el dominio de la regularidad". Informes del seminario de matemáticas de Kodai . 3 (1–2): 26–32. doi : 10.2996/kmj/1138843066 .
• Bueno, Kiyoshi (1936). "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. I. Domaines convexes par rapport aux fonctions rationnelles". Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima . 6 : 245–255. doi : 10.32917/hmj/1558749869 .
• Bueno, Kiyoshi (1937). "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. II – Domaines d'holomorphie". Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima . 7 : 115-130. doi : 10.32917/hmj/1558576819 .
• Bueno, Kiyoshi (1939). "Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. III–Deuxième problème de Cousin" (PDF) . Revista de Ciencias de la Universidad de Hiroshima . 9 : 7–19. doi : 10.32917/hmj/1558490525 .
• Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Funciones analíticas de varias variables complejas , Prentice Hall.
• Chorlay, Renaud (enero de 2010). "De los problemas a las estructuras: los problemas de primos y el surgimiento del concepto de gavilla". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 64 (1): 1–73. doi :10.1007/s00407-009-0052-3. JSTOR  41342411. S2CID  73633995.