problema de valor medio

Problema matemático sin resolver

En matemáticas , el problema del valor medio fue planteado por Stephen Smale en 1981. ^[1] Este problema todavía está abierto en su totalidad. El problema pregunta:

Para un polinomio complejo dado de grado ^{[2] A} y un número complejo , ¿existe un punto crítico de (ie ) tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(c)=0}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(c)}{z-c}}\right|\leq K|f'(z)|{\text{ for }}K=1{\text{?}}}$

Fue probado para . ^[1] Para un polinomio de grado la constante tiene que ser al menos del ejemplo , por lo tanto no puede existir ningún límite mejor que el . ${\displaystyle K=4}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\frac {d-1}{d}}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{d}-dz}$ ${\displaystyle K=1}$

Resultados parciales

Se sabe que la conjetura se cumple en casos especiales; para otros casos, el límite podría mejorarse dependiendo del grado , aunque no se conoce ningún límite absoluto que sea válido para todos . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K<4}$ ${\displaystyle d}$

En 1989, Tischler demostró que la conjetura es cierta para la cota óptima si solo tiene raíces reales , o si todas las raíces de tienen la misma norma . ^{[3] [4]} En 2007, Conte et al. Demostró que [ ^2] mejoró ligeramente el límite fijo . Ese mismo año, Crane lo demostró . ^[5] ${\displaystyle K={\frac {d-1}{d}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K\leq 4{\frac {d-1}{d+1}}}$ ${\displaystyle K\leq 4}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K<4-{\frac {2.263}{\sqrt {d}}}}$ ${\displaystyle d\geq 8}$

Considerando la desigualdad inversa , Dubinin y Sugawa han demostrado que (en las mismas condiciones anteriores) existe un punto crítico tal que . ^[6] El problema de optimizar este límite inferior se conoce como problema del valor medio dual. ^[7] ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(\zeta )}{z-\zeta }}\right|\geq {\frac {|f'(z)|}{n4^{n}}}}$

Ver también

• Lista de problemas no resueltos en matemáticas.

Notas

A. ^ La restricción del grado se utiliza pero no se indica explícitamente en Smale (1981); se hace explícito, por ejemplo, en Conte (2007). La restricción es necesaria. Sin él, la conjetura sería falsa: el polinomio f ( z ) = z no tiene puntos críticos.

Referencias

1. Smale, S. (1981). "El Teorema Fundamental del Álgebra y la Teoría de la Complejidad" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 4 (1): 1–36. doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14858-8 . Consultado el 23 de octubre de 2017 .
2. Conte, A.; Fujikawa, E.; Lakic, N. (20 de junio de 2007). "La conjetura del valor medio de Smale y los coeficientes de funciones univalentes" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 135 (10): 3295–3300. doi : 10.1090/S0002-9939-07-08861-2 . Consultado el 23 de octubre de 2017 .
3. Tischler, D. (1989). "Puntos críticos y valores de polinomios complejos". Revista de Complejidad . 5 (4): 438–456. doi :10.1016/0885-064X(89)90019-8.
4. Pequeño, Steve. "Problemas matemáticos para el próximo siglo" (PDF) .
5. Crane, E. (22 de agosto de 2007). "Un límite para la conjetura del valor medio de Smale para polinomios complejos" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 39 (5): 781–791. doi :10.1112/blms/bdm063. S2CID  59416831 . Consultado el 23 de octubre de 2017 .
6. Dubinin, V.; Sugawa, T. (2009). "Problema de valor medio dual para polinomios complejos". Actas de la Academia de Japón, Serie A, Ciencias Matemáticas . 85 (9): 135-137. arXiv : 0906.4605 . Código Bib : 2009arXiv0906.4605D. doi : 10.3792/pjaa.85.135. S2CID  12020364 . Consultado el 23 de octubre de 2017 .
7. Ng, T.-W.; Zhang, Y. (2016). "Conjetura del valor medio de Smale para productos finitos de Blaschke". La revista de análisis . 24 (2): 331–345. arXiv : 1609.00170 . Código Bib : 2016arXiv160900170N. doi :10.1007/s41478-016-0007-4. S2CID  56272500.