El problema de la aguja de Buffon

Pregunta sobre probabilidad geométrica

La aguja a se encuentra transversalmente a una línea, mientras que la aguja b no.

En teoría de la probabilidad , el problema de la aguja de Buffon es una pregunta planteada por primera vez en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon : ^[1]

Supongamos que tenemos un piso hecho de tiras de madera paralelas , cada una del mismo ancho, y dejamos caer una aguja sobre el piso. ¿Cuál es la probabilidad de que la aguja se encuentre atravesada en una línea entre dos tiras?

La aguja de Buffon fue el primer problema de probabilidad geométrica que se resolvió; ^[2] se puede resolver utilizando geometría integral . La solución para la probabilidad buscada p , en el caso en que la longitud de la aguja l no sea mayor que el ancho t de las tiras, es

${\displaystyle p={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}.}$

Esto se puede utilizar para diseñar un método de Monte Carlo para aproximar el número π , aunque esa no fue la motivación original de la pregunta de De Buffon. ^[3] La aparición aparentemente inusual de π en esta expresión ocurre porque la función de distribución de probabilidad subyacente para la orientación de la aguja es rotacionalmente simétrica.

Solución

El problema en términos más matemáticos es: dada una aguja de longitud l que se deja caer en un plano con líneas paralelas separadas t unidades, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja se encuentre cruzada sobre una línea al aterrizar?

Sea x la distancia desde el centro de la aguja hasta la línea paralela más cercana, y sea θ el ángulo agudo entre la aguja y una de las líneas paralelas.

La función de densidad de probabilidad uniforme (PDF) de x entre 0 y ⁠a/2⁠ es

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{t}}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

Aquí, x = 0 representa una aguja que está centrada directamente en una línea, y x = ⁠a/2⁠ representa una aguja que está perfectamente centrada entre dos líneas. La función de densidad de probabilidad uniforme supone que la aguja tiene la misma probabilidad de caer en cualquier lugar de este rango, pero no podría caer fuera de él.

La función de densidad de probabilidad uniforme de θ entre 0 y ⁠π/2⁠ es

${\displaystyle f_{\Theta }(\theta )={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}&:\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

Aquí, θ = 0 representa una aguja que es paralela a las líneas marcadas, y θ = ⁠π/2⁠ radianes representa una aguja perpendicular a las líneas marcadas. Se supone que cualquier ángulo dentro de este rango es un resultado igualmente probable.

Las dos variables aleatorias , x y θ , son independientes, ^[4] por lo que la función de densidad de probabilidad conjunta es el producto

${\displaystyle f_{X,\Theta }(x,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {4}{t\pi }}&:\ 0\leq x\leq {\dfrac {t}{2}},\ 0\leq \theta \leq {\dfrac {\pi }{2}}\\[4px]0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}$

La aguja cruza una línea si

${\displaystyle x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta .}$

Ahora hay dos casos.

Caso 1: Aguja corta (l ≤ t)

La integración de la función de densidad de probabilidad conjunta da la probabilidad de que la aguja cruce una línea:

${\displaystyle P=\int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2l}{t\pi }}.}$

Caso 2: Aguja larga (yo > yo)

Supongamos que l > t . En este caso, integrando la función de densidad de probabilidad conjunta, obtenemos:

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{x=0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ,}$

donde m ( θ ) es el mínimo entre ⁠yo/2⁠ sen θ y ⁠a/2⁠ .

Así, realizando la integración anterior, vemos que, cuando l > t , la probabilidad de que la aguja cruce al menos una línea es

${\displaystyle P={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1}$

o

${\displaystyle P={\frac {2}{\pi }}\arccos {\frac {t}{l}}+{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {l}{t}}\left(1-{\sqrt {1-\left({\frac {t}{l}}\right)^{2}}}\right).}$

En la segunda expresión, el primer término representa la probabilidad de que el ángulo de la aguja sea tal que siempre cruce al menos una línea. El término correcto representa la probabilidad de que la aguja caiga en un ángulo en el que su posición sea importante y cruce la línea.

Alternativamente, observe que siempre que θ tiene un valor tal que l sin θ ≤ t , es decir, en el rango 0 ≤ θ ≤ arcsin ⁠a/yo⁠ , la probabilidad de cruce es la misma que en el caso de la aguja corta. Sin embargo, si l sen θ > t , es decir, arcsin ⁠a/yo⁠ < θ ≤ ⁠π/2La probabilidad es constante y es igual a 1.

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\left(\int _{\theta =0}^{\arcsin {\frac {t}{l}}}\int _{x=0}^{{\frac {l}{2}}\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}dxd{\theta }\right)+\left(\int _{\arcsin {\frac {t}{l}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {2}{\pi }}d{\theta }\right)\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left({\sqrt {l^{2}-t^{2}}}+t\arcsin {\frac {t}{l}}\right)+1\end{aligned}}}$

Utilizando cálculo elemental

La siguiente solución para el caso de la "aguja corta", si bien es equivalente a la anterior, tiene un sabor más visual y evita las integrales iteradas.

Podemos calcular la probabilidad P como el producto de dos probabilidades: P = P ₁ · P ₂ , donde P ₁ es la probabilidad de que el centro de la aguja caiga lo suficientemente cerca de una línea para que la aguja posiblemente la cruce, y P ₂ es la probabilidad de que la aguja realmente cruce la línea, dado que el centro está a su alcance.

Al observar la ilustración de la sección anterior, es evidente que la aguja puede cruzar una línea si el centro de la aguja está dentro de ⁠yo/2⁠ unidades de cada lado de la tira. Añadiendo ⁠yo/2⁠ + ⁠yo/2⁠ de ambos lados y dividiendo por todo el ancho t , obtenemos P ₁ = ⁠yo/a⁠ .

Las agujas roja y azul están centradas en x . La roja cae dentro del área gris, contenida por un ángulo de 2 θ en cada lado, por lo que cruza la línea vertical; la azul no. La proporción del círculo que es gris es lo que integramos cuando el centro x pasa de 0 a 1.

Ahora, suponemos que el centro está al alcance del borde de la franja y calculamos P ₂ . Para simplificar el cálculo, podemos suponer que . ${\displaystyle l=2}$

Sean x y θ como en la ilustración de esta sección. Situando el centro de una aguja en x , la aguja cruzará el eje vertical si se encuentra dentro de un rango de 2 θ radianes, de π radianes de posibles orientaciones. Esto representa el área gris a la izquierda de x en la figura. Para una x fija , podemos expresar θ como una función de x : θ ( x ) = arccos( x ) . Ahora podemos dejar que x oscile entre 0 y 1, e integrar:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2}&=\int _{0}^{1}{\frac {2\theta (x)}{\pi }}\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}\cos ^{-1}(x)\,dx\\[6px]&={\frac {2}{\pi }}\cdot 1={\frac {2}{\pi }}.\end{aligned}}}$

Multiplicando ambos resultados, obtenemos P = P ₁ · P ₂ = ⁠yo/a⁠ · ⁠2/π⁠ = ⁠2 litros/tπ⁠ como arriba.

Hay un método aún más elegante y simple para calcular el "caso de la aguja corta". El extremo de la aguja más alejado de cualquiera de las dos líneas que bordean su región debe estar ubicado dentro de una distancia horizontal (perpendicular a las líneas limítrofes) de l cos θ (donde θ es el ángulo entre la aguja y la horizontal) de esta línea para que la aguja la cruce. Lo más lejos que este extremo de la aguja puede alejarse de esta línea horizontalmente en su región es t . La probabilidad de que el extremo más alejado de la aguja esté ubicado a no más de una distancia l cos θ de la línea (y, por lo tanto, que la aguja cruce la línea) de la distancia total t que puede moverse en su región para 0 ≤ θ ≤ ⁠π/2⁠ está dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}l\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}t\,d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta \,d\theta }{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta }}\\[6px]&={\frac {l}{t}}\cdot {\frac {1}{\,{\frac {\pi }{2}}\,}}\\[6px]&={\frac {2l}{t\pi }}.\end{aligned}}}$

Sin integrales

El problema de la aguja corta también se puede resolver sin integración alguna, de modo que se explica la fórmula de p a partir del hecho geométrico de que un círculo de diámetro t cruzará la distancia t siempre (es decir, con probabilidad 1) en exactamente dos puntos. Esta solución fue propuesta por Joseph-Émile Barbier en 1860 ^[5] y también se la conoce como " el fideo de Buffon ".

Estimandoπ

Experimento para hallar π . Se han lanzado cerillas de 9 cuadrados de largo 17 veces entre filas de 9 cuadrados de ancho. 11 de las cerillas han caído al azar sobre las líneas dibujadas marcadas con puntos verdes.
2 l · n/El⁠ = ⁠2 × 9 × 17/9 × 11⁠ ≈ 3,1 ≈ π .

Simulación basada en Python 3 que utiliza Matplotlib para esbozar el experimento de la aguja de Buffon con los parámetros t = 5,0 y l = 2,6 . Observe que el valor calculado de π ( eje y ) se acerca a 3,14 a medida que el número de lanzamientos ( eje x ) se acerca al infinito.

En el primer caso, más simple, mencionado anteriormente, la fórmula obtenida para la probabilidad P se puede reorganizar como

${\displaystyle \pi ={\frac {2l}{tP}}.}$

Por lo tanto, si realizamos un experimento para estimar P , también tendremos una estimación para  π .

Supongamos que dejamos caer n agujas y encontramos que h de esas agujas cruzan líneas, por lo que P se aproxima por la fracciónyo/norte⁠ . Esto nos lleva a la fórmula:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2l\cdot n}{th}}.}$

En 1901, el matemático italiano Mario Lazzarini realizó el experimento de la aguja de Buffon. Lanzando una aguja 3.408 veces, obtuvo la conocida aproximación ⁠355/113⁠ para π , con una precisión de seis decimales. ^[6] El "experimento" de Lazzarini es un ejemplo de sesgo de confirmación , ya que fue diseñado para replicar la aproximación ya conocida de ⁠355/113⁠ (de hecho, no hay mejor aproximación racional con menos de cinco dígitos en el numerador y denominador, véase también Milü ), lo que produce una "predicción" de π más precisa de lo que se esperaría a partir del número de ensayos, como sigue: ^[7]

Lazzarini eligió agujas cuya longitud era ⁠5/6⁠ del ancho de las tiras de madera. En este caso, la probabilidad de que las agujas crucen las líneas es ⁠5/3π​⁠ . Por lo tanto, si uno dejara caer n agujas y obtuviera x cruces, uno estimaría π como

${\displaystyle \pi \approx {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}}}$

Así que si Lazzarini apuntaba al resultado ...355/113⁠ , necesitaba n y x tales que

${\displaystyle {\frac {355}{113}}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {n}{x}},}$

o equivalentemente,

${\displaystyle x={\frac {113n}{213}}.}$

Para ello, se debe elegir n como múltiplo de 213, porque entonces113 n/213⁠ es un número entero; entonces se dejan caer n agujas y se espera que x = exactamente113 n/213⁠ éxitos. Si uno deja caer 213 agujas y obtiene 113 éxitos, entonces puede informar triunfalmente una estimación de π precisa hasta seis decimales. Si no, uno puede simplemente hacer 213 ensayos más y esperar un total de 226 éxitos; si no, simplemente repita las veces que sea necesario. Lazzarini realizó 3408 = 213 × 16 ensayos, lo que hace que parezca probable que esta sea la estrategia que utilizó para obtener su "estimación".

La descripción anterior de la estrategia podría incluso considerarse una generosidad para Lazzarini. Un análisis estadístico de los resultados intermedios que informó para menos lanzamientos lleva a una probabilidad muy baja de lograr una coincidencia tan cercana con el valor esperado durante todo el experimento. Esto hace que sea muy posible que el "experimento" en sí nunca se haya realizado físicamente, sino que se haya basado en números inventados con la imaginación para que coincidieran con las expectativas estadísticas, pero demasiado bien, como se demostró. ^[7]

El periodista científico holandés Hans van Maanen sostiene, sin embargo, que el artículo de Lazzarini nunca tuvo la intención de ser tomado demasiado en serio, ya que habría sido bastante obvio para los lectores de la revista (dirigida a los maestros de escuela) que el aparato que Lazzarini decía haber construido no podía funcionar como se describe. ^[8]

Extensión de Laplace (estuche de aguja corto)

Ahora, consideremos el caso en el que el plano contiene dos conjuntos de líneas paralelas ortogonales entre sí, creando una cuadrícula perpendicular estándar. Nuestro objetivo es encontrar la probabilidad de que la aguja intersecta al menos una línea en la cuadrícula. Sean a y b los lados del rectángulo que contiene el punto medio de la aguja cuya longitud es l . Como este es el caso de la aguja corta, l < a , l < b . Sea ( x , y ) las coordenadas del punto medio de la aguja y sea φ el ángulo formado por la aguja y el eje x . De manera similar a los ejemplos descritos anteriormente, consideramos que x , y , φ son variables aleatorias uniformes independientes en los rangos 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ b , − ⁠π/2⁠ ≤ φ ≤ ⁠π/2⁠ .

Para resolver este problema, primero calculamos la probabilidad de que la aguja no cruce ninguna línea y luego tomamos su complemento. Calculamos esta primera probabilidad determinando el volumen del dominio donde la aguja no cruza ninguna línea y luego dividimos ese valor por el volumen de todas las posibilidades, V . Podemos ver fácilmente que V = πab .

Sea ahora V * el volumen de posibilidades donde la aguja no interseca ninguna línea. Desarrollado por JV Uspensky , ^[9]

${\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi }$

donde F ( φ ) es la región donde la aguja no interseca ninguna línea dado un ángulo φ . Para determinar F ( φ ) , veamos primero el caso de los bordes horizontales del rectángulo delimitador. La longitud total del lado es a y el punto medio no debe estar dentro de ⁠yo/2⁠ cos φ de cada extremo del borde. Por lo tanto, la longitud total permitida para que no haya intersección es a − 2( ⁠yo/2⁠ cos φ ) o simplemente a − l cos φ . De manera equivalente, para los bordes verticales con longitud b , tenemos b ± l sen φ . El ± representa los casos en los que φ es positivo o negativo. Tomando el caso positivo y luego agregando los signos de valor absoluto en la respuesta final para generalidad, obtenemos

${\displaystyle F(\varphi )=(a-l\cos \varphi )(b-l\sin \varphi )=ab-bl\cos \varphi -al|\sin \varphi |+{\tfrac {1}{2}}l^{2}|\sin 2\varphi |.}$

Ahora podemos calcular la siguiente integral:

${\displaystyle V^{*}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}F(\varphi )\,d\varphi =\pi ab-2bl-2al+l^{2}.}$

Por lo tanto, la probabilidad de que la aguja no intersecte ninguna línea es

${\displaystyle {\frac {V^{*}}{V}}={\frac {\pi ab-2bl-2al+l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}.}$

Y finalmente, si queremos calcular la probabilidad, P , de que la aguja intersecte al menos una línea, necesitamos restar el resultado anterior de 1 para calcular su complemento, obteniendo

${\displaystyle P={\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}}$.

Comparación de estimadores deπ

Como se mencionó anteriormente, el experimento de la aguja de Buffon se puede utilizar para estimar π . Este hecho también es válido para la extensión de Laplace, ya que π también aparece en esa respuesta. Entonces surge naturalmente la siguiente pregunta, que es discutida por EF Schuster en 1974. ^[10] ¿Es el experimento de Buffon o el de Laplace un mejor estimador del valor de π ? Dado que en la extensión de Laplace hay dos conjuntos de líneas paralelas, comparamos N gotas cuando hay una cuadrícula (Laplace) y 2 N gotas en el experimento original de Buffon.

Sea A el evento en el que la aguja interseca una línea horizontal (paralela al eje x )

${\displaystyle x={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}}$

y sea B el evento en el que la aguja interseca una línea vertical (paralela al eje y )

${\displaystyle y={\begin{cases}1&:{\text{intersection occurs}}\\0&:{\text{no intersection}}\end{cases}}}$

Para simplificar la formulación algebraica que sigue, sea a = b = t = 2 l tal que el resultado original en el problema de Buffon es P ( A ) = P ( B ) = ⁠1/π⁠ . Además, sea N = 100 gotas.

Ahora examinemos P ( AB ) para el resultado de Laplace, es decir, la probabilidad de que la aguja intersecte tanto una línea horizontal como una vertical. Sabemos que

${\displaystyle P(AB)=1-P(AB')-P(A'B)-P(A'B').}$

De la sección anterior, P ( A ′ B ′) , o la probabilidad de que la aguja no intersecte ninguna línea es

${\displaystyle P(A'B')=1-{\frac {2l(a+b)-l^{2}}{\pi ab}}=1-{\frac {2l(4l)-l^{2}}{4l^{2}\pi }}=1-{\frac {7}{4\pi }}.}$

Podemos resolver P ( A ′ B ) y P ( AB ′) usando el siguiente método:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(AB')\\[4px]P(B)&={\frac {1}{\pi }}=P(AB)+P(A'B).\end{aligned}}}$

Resolviendo para P ( A ′ B ) y P ( AB ′) y reemplazando eso con la definición original para P ( AB ) unas líneas más arriba, obtenemos

${\displaystyle P(AB)=1-2\left({\frac {1}{\pi }}-P(AB)\right)-\left(1-{\frac {7}{4\pi }}\right)={\frac {1}{4\pi }}}$

Aunque no es necesario para el problema, ahora es posible ver que P ( A ′ B ) = P ( AB ′) = ⁠3/4π​⁠ . Con los valores anteriores, ahora podemos determinar cuál de estos estimadores es un mejor estimador para π . Para la variante de Laplace, sea p̂ el estimador de la probabilidad de que exista una intersección de líneas tal que

${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{100}{\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}}$.

Nos interesa la varianza de dicho estimador para entender su utilidad o eficiencia. Para calcular la varianza de p̂ , primero calculamos Var( x _n + y _n ) donde

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})=\operatorname {Var} (x_{n})+\operatorname {Var} (y_{n})+2\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n}).}$

Resolviendo cada parte individualmente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (x_{n})=\operatorname {Var} (y_{n})&=\sum _{i=1}^{2}p_{i}{\bigl (}x_{i}-\mathbb {E} (x_{i}){\bigr )}^{2}\\[6px]&=P(x_{i}=1)\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+P(x_{i}=0)\left(0-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}\\[6px]&={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}+\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\left(-{\frac {1}{\pi }}\right)^{2}={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right).\\[12px]\operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})&=\mathbb {E} (x_{n}y_{n})-\mathbb {E} (x_{n})\mathbb {E} (y_{n})\end{aligned}}}$

Sabemos por la sección anterior que

${\displaystyle \mathbb {E} (x_{n}y_{n})=P(AB)={\frac {1}{4\pi }}}$

flexible

${\displaystyle \operatorname {Cov} (x_{n},y_{n})={\frac {1}{4\pi }}-{\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{\pi }}={\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}<0}$

De este modo,

${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{n}+y_{n})={\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+{\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)+2\left({\frac {\pi -4}{4\pi ^{2}}}\right)={\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}}$

Volviendo al problema original de esta sección, la varianza del estimador p̂ es

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {p}})={\frac {1}{200^{2}}}(100)\left({\frac {5\pi -8}{2\pi ^{2}}}\right)\approx 0.000\,976.}$

Ahora calculemos el número de gotas, M , necesario para lograr la misma varianza que 100 gotas sobre líneas perpendiculares. Si M < 200 , podemos concluir que la configuración con solo líneas paralelas es más eficiente que el caso con líneas perpendiculares. Por el contrario, si M es igual o mayor que 200, entonces el experimento de Buffon es igualmente o menos eficiente, respectivamente. Sea q̂ el estimador para el experimento original de Buffon. Entonces,

${\displaystyle {\hat {q}}={\frac {1}{M}}\sum _{m=1}^{M}x_{m}}$

y

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {q}})={\frac {1}{M^{2}}}(M)\operatorname {Var} (x_{m})={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {1}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{\pi }}\right)\approx {\frac {0.217}{M}}}$

Resolviendo para M ,

${\displaystyle {\frac {0.217}{M}}=0.000\,976\implies M\approx 222.}$

Por lo tanto, se necesitan 222 gotas con solo líneas paralelas para tener la misma certeza que 100 gotas en el caso de Laplace. Esto no es realmente sorprendente debido a la observación de que Cov( x _n , y _n ) < 0 . Debido a que x _n e y _n son variables aleatorias correlacionadas negativamente, actúan para reducir la varianza total en el estimador que es un promedio de las dos. Este método de reducción de la varianza se conoce como el método de las variables antitéticas .

Véase también

• Paradoja de Bertrand (probabilidad)

Referencias

1. Historia de l'Acad. Roy. des. Ciencias (1733), 43–45; Histoire naturallle, générale et particulière Supplément 4 (1777), p. 46.
2. Seneta, Eugene ; Parshall, Karen Hunger; Jongmans, François (2001). "Desarrollos en probabilidad geométrica en el siglo XIX: JJ Sylvester, MW Crofton, J.-É. Barbier y J. Bertrand". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 55 (6): 501–524. doi :10.1007/s004070100038. ISSN  0003-9519. JSTOR  41134124. S2CID  124429237.
3. Behrends, Ehrhard. "Buffon: ¿Hat er Stöckchen geworfen oder hat er nicht?" (PDF) . Consultado el 14 de marzo de 2015 .
4. La formulación del problema aquí evita tener que trabajar con densidades de probabilidad condicional regulares .
5. Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2013). Pruebas de EL LIBRO (2.ª ed.). Springer Science & Business Media. págs. 189–192.
6. Lazzarini, M. (1901). "Un'applicazione del calcolo della probabilità alla ricerca sperimentale di un valore approssimato di π " [Una aplicación de la teoría de la probabilidad a la investigación experimental de una aproximación de π ]. Periodico di Matematica per l'Insegnamento Secondario (en italiano). 4 : 140-143.
7. Lee Badger, 'La afortunada aproximación de π de Lazzarini', Mathematics Magazine 67, 1994, 83–91.
8. Hans van Maanen, 'Het stokje van Lazzarini' (el palo de Lazzarini), "Skepter" 31.3, 2018.
9. JV Uspensky, 'Introducción a la probabilidad matemática', 1937, 255.
10. EF Schuster, Experimento de la aguja de Buffon, The American Mathematical Monthly, 1974, 29-29.

Bibliografía

• Badger, Lee (abril de 1994). "La aproximación afortunada de Lazzarini de π ". Revista de matemáticas . 67 (2). Asociación Matemática de América: 83–91. doi :10.2307/2690682. JSTOR  2690682.
• Ramaley, JF (octubre de 1969). "El problema de los fideos de Buffon". The American Mathematical Monthly . 76 (8). Asociación Matemática de América: 916–918. doi :10.2307/2317945. JSTOR  2317945.
• Mathai, AM (1999). Introducción a la probabilidad geométrica. Newark: Gordon & Breach. pág. 5. ISBN 978-90-5699-681-9.
• Dell, Zachary; Franklin, Scott V. (septiembre de 2009). "El problema de la aguja de Buffon-Laplace en tres dimensiones". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 2009 (9): 010. Bibcode :2009JSMTE..09..010D. doi :10.1088/1742-5468/2009/09/P09010. S2CID  32470555.
• Schroeder, L. (1974). "El problema de la aguja de Buffon: una aplicación interesante de muchos conceptos matemáticos". Mathematics Teacher , 67 (2), 183–6.
• Uspensky, James Victor. "Introducción a la probabilidad matemática". (1937).

Enlaces externos

• El problema de la aguja de Buffon al cortar el nudo
• Sorpresas matemáticas: el fideo de Buffon en Cut-the-Knot
• MSTE: La aguja de Buffon
• Applet Java de la Aguja de Buffon
• Estimación de la visualización de PI (Flash)
• La aguja de Buffon: diversión y fundamentos (presentación) en slideshare
• Animaciones para la simulación de la Aguja de Buffon por Yihui Xie usando el paquete R animation
• Animación física en 3D de Jeffrey Ventrella
• Padilla, Tony. "π Pi y la aguja de Buffon". Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 2013-05-17 . Consultado el 2013-04-09 .