Determinante de Dieudonné

En álgebra lineal , el determinante de Dieudonné es una generalización del determinante de una matriz a matrices sobre anillos de división y anillos locales . Fue introducido por Dieudonné  (1943).

Si K es un anillo de división, entonces el determinante de Dieudonné es un homomorfismo de grupo del grupo GL _n ( K  ) de matrices n por n invertibles sobre K sobre la abelianización K ^× / [ K ^× ,  K ^× ] del grupo multiplicativo K ^× de K .

Por ejemplo, el determinante de Dieudonné para una matriz de 2 por 2 es la clase de residuo, en K ^× / [ K ^× ,  K ^× ], de

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{*{20}c}a&b\\c&d\end{array}}\right)=\left\lbrace {\begin{array}{*{20}c}-cb&{\text{if }}a=0\\ad-aca^{-1}b&{\text{if }}a\neq 0.\end{array}}\right.}$

Propiedades

Sea R un anillo local. Existe una función determinante del anillo matricial GL( R  ) al grupo unitario abelianizado R ^× _ab con las siguientes propiedades: ^[1]

• El determinante es invariante bajo operaciones elementales de fila.
• El determinante de la matriz identidad es 1
• Si se deja una fila multiplicada por a en R ^× entonces el determinante queda multiplicado por a
• El determinante es multiplicativo: det( AB ) = det( A )det( B )
• Si se intercambian dos filas, el determinante se multiplica por −1
• Si R es conmutativa , entonces el determinante es invariante bajo transposición.

Problema de Tannaka-Artin

Supongamos que K es finito sobre su centro F . La norma reducida da un homomorfismo N _n de GL _n ( K  ) a F ^× . También tenemos un homomorfismo de GL _n ( K  ) a F ^× obtenido al componer el determinante de Dieudonné de GL _n ( K  ) a K ^× / [ K ^× ,  K ^× ] con la norma reducida N ₁ de GL ₁ ( K  ) = K ^× a F ^× mediante la abelianización.

El problema de Tannaka-Artin es si estos dos mapas tienen el mismo núcleo SL _n ( K  ). Esto es cierto cuando F es localmente compacto ^[2] pero falso en general. ^[3]

Véase también

• Determinante de Moore sobre un álgebra de división

Referencias

1. Rosenberg (1994) pág. 64
2. Nakayama, Tadasi; Matsushima, Yozo (1943). "Über die multiplicative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra". Proc. Diablillo. Acad. Tokio (en alemán). 19 : 622–628. doi : 10.3792/pia/1195573246 . Zbl  0060.07901.
3. Platonov, VP (1976). "El problema de Tannaka-Artin y la teoría K reducida". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (en ruso). 40 (2): 227–261. Bibcode :1976IzMat..10..211P. doi :10.1070/IM1976v010n02ABEH001686. Zbl  0338.16005.

• Dieudonné, Jean (1943), "Les determinantes sur un corps non commutatif", Bulletin de la Société Mathématique de France , 71 : 27–45, doi : 10.24033/bsmf.1345 , ISSN  0037-9484, MR  0012273, Zbl  0028.33904
• Rosenberg, Jonathan (1994), Teoría K algebraica y sus aplicaciones, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 147, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290, Zbl  0801.19001. Fe de erratas
• Serre, Jean-Pierre (2003), Árboles , Springer, pág. 74, ISBN 3-540-44237-5, Zbl1013.20001 ​
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "Determinante", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press