Problema de Erdős-Graham

Teorema sobre la existencia de conjuntos finitos de números enteros >1 cuyos recíprocos suman 1

En la teoría combinatoria de números , el problema de Erdős–Graham es el problema de demostrar que, si el conjunto de números enteros mayores que uno se divide en un número finito de subconjuntos, entonces uno de los subconjuntos se puede utilizar para formar una representación fraccionaria egipcia de la unidad. Es decir, para cada , y cada -coloración de los números enteros mayores que uno, existe un subconjunto monocromático finito de estos números enteros tal que ${\displaystyle \{2,3,4,\dots \}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.}$

En más detalle, Paul Erdős y Ronald Graham conjeturaron que, para un valor suficientemente grande , el miembro más grande de podría estar acotado por para alguna constante independiente de . Se sabía que, para que esto fuera cierto, debe ser al menos la constante de Euler . ^[1] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b^{r}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e}$

Ernie Croot demostró la conjetura como parte de su tesis doctoral , ^[2] y más tarde (mientras era investigador postdoctoral en UC Berkeley ) publicó la prueba en Annals of Mathematics . ^[3] El valor que Croot da para es muy grande: es como máximo . El resultado de Croot se desprende como corolario de un teorema más general que establece la existencia de representaciones fraccionarias egipcias de la unidad para conjuntos de números lisos en intervalos de la forma , donde contiene suficientes números para que la suma de sus recíprocos sea al menos seis. La conjetura de Erdős-Graham se desprende de este resultado al mostrar que se puede encontrar un intervalo de esta forma en el que la suma de los recíprocos de todos los números lisos sea al menos ; por lo tanto, si los números enteros están coloreados debe haber un subconjunto monocromático que satisfaga las condiciones del teorema de Croot. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{167000}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [X,X^{1+\delta }]}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 6r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C}$

En 2021, Thomas Bloom , investigador postdoctoral de la Universidad de Oxford , anunció una forma más fuerte del resultado, según la cual cualquier conjunto de números enteros con densidad superior positiva incluye los denominadores de una representación fraccionaria egipcia de uno. ^{[4] [5] [6]}

Véase también

• Conjeturas de Erdős

Referencias

1. Erdős, Paul; Graham, Ronald L. (1980). Viejos y nuevos problemas y resultados de la teoría combinatoria de números . Monografías de L'Enseignement Mathématique [Monografías de L'Enseignement Mathématique]. vol. 28. Ginebra: Université de Genève, L'Enseignement Mathématique. págs. 30–44. SEÑOR  0592420.
2. Croot, Ernest S., III (2000). Fracciones unitarias (tesis doctoral). Universidad de Georgia , Atenas.{{cite thesis}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
3. Croot, Ernest S., III (2003). "Sobre una conjetura de coloración acerca de fracciones unitarias". Anales de Matemáticas . 157 (2): 545–556. arXiv : math.NT/0311421 . doi :10.4007/annals.2003.157.545. MR  1973054. S2CID  13514070.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
4. Bloom, Thomas F. (diciembre de 2021). "Sobre una conjetura de densidad acerca de fracciones unitarias". arXiv : 2112.03726 [math.NT].
5. "Fracciones unitarias". b-mehta.github.io . Consultado el 19 de febrero de 2023 .
6. Cepelewicz, Jordana (9 de marzo de 2022). "El 'problema más antiguo de la historia' de las matemáticas obtiene una nueva respuesta". Quanta Magazine . Consultado el 9 de marzo de 2022 .

Enlaces externos

• Página web de Ernie Croot