En las matemáticas de la teoría de grafos y los grupos finitos , un grafo primo es un grafo no dirigido definido a partir de un grupo . Estos grafos fueron introducidos en un artículo de 1981 de JS Williams, atribuido a un trabajo inédito de 1975 de KW Gruenberg y O. Kegel. [1]
El grafo primo de un grupo tiene un vértice para cada número primo que divide el orden (número de elementos) del grupo dado, y una arista que conecta cada par de números primos y para el cual existe un elemento del grupo con orden . [1] [2]
De manera equivalente, existe una arista de a siempre que el grupo dado contenga elementos conmutativos de orden y de orden , [1] o siempre que el grupo dado contenga un grupo cíclico de orden como uno de sus subgrupos. [2]
Ciertos grupos finitos simples pueden reconocerse por los grados de los vértices en sus grafos primos. [3] Los componentes conexos de un grafo primo tienen un diámetro de como máximo cinco, y como máximo tres para los grupos resolubles . [4] Cuando un grafo primo es un árbol , tiene como máximo ocho vértices, y como máximo cuatro para los grupos resolubles. [5]
También se han estudiado variaciones de grafos primos que sustituyen la existencia de un subgrupo cíclico de orden , en la definición de adyacencia en un grafo primo, por la existencia de un subgrupo de otro tipo. [2] También se han obtenido resultados similares a partir de una familia relacionada de grafos, obtenida a partir de un grupo finito a través de los grados de sus caracteres en lugar de a través de los órdenes de sus elementos. [6]
