En teoría de campos , un elemento primitivo de un campo finito GF( q ) es un generador del grupo multiplicativo del campo. En otras palabras, α ∈ GF( q ) se llama elemento primitivo si es una raíz primitiva ( q − 1) de la unidad en GF( q ) ; esto significa que cada elemento distinto de cero de GF( q ) se puede escribir como α i para algún número natural i .
Si q es un número primo , los elementos de GF( q ) se pueden identificar con los números enteros módulo q . En este caso, un elemento primitivo también se denomina módulo raíz primitivo q .
Por ejemplo, 2 es un elemento primitivo del campo GF(3) y GF(5) , pero no de GF(7) ya que genera el subgrupo cíclico {2, 4, 1} de orden 3; sin embargo, 3 es un elemento primitivo de GF(7) . El polinomio mínimo de un elemento primitivo es un polinomio primitivo .
El número de elementos primitivos en un campo finito GF( q ) es φ ( q − 1) , donde φ es la función totiente de Euler , que cuenta el número de elementos menores o iguales que m que son coprimos de m . Esto se puede demostrar utilizando el teorema de que el grupo multiplicativo de un campo finito GF( q ) es cíclico de orden q − 1 , y el hecho de que un grupo cíclico finito de orden m contiene generadores φ ( m ) .