Teoría cuántica de campos algebraica

Enfoque axiomático de la teoría cuántica de campos

La teoría cuántica de campos algebraica ( AQFT ) es una aplicación a la física cuántica local de la teoría del álgebra C* . También se la conoce como el marco axiomático de Haag-Kastler para la teoría cuántica de campos , porque fue introducida por Rudolf Haag y Daniel Kastler  (1964). Los axiomas se enuncian en términos de un álgebra dada para cada conjunto abierto en el espacio de Minkowski y las aplicaciones entre ellos.

Axiomas de Haag-Kastler

Sea el conjunto de todos los subconjuntos abiertos y acotados del espacio de Minkowski. Una teoría cuántica de campos algebraica se define mediante un conjunto de álgebras de von Neumann en un espacio de Hilbert común que satisface los siguientes axiomas: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• Isotónica : implica . ${\displaystyle O_{1}\subset O_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})}$
• Causalidad : Si es espacialmente separado de , entonces . ${\displaystyle O_{1}}$ ${\displaystyle O_{2}}$ ${\displaystyle [{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0}$
• Covarianza de Poincaré : Existe una representación unitaria fuertemente continua del grupo de Poincaré tal que ${\displaystyle U({\mathcal {P}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*},\,\,g\in {\mathcal {P}}.}$
• Condición del espectro : El espectro conjunto del operador de energía-momento (es decir, el generador de las traslaciones espacio-temporales) está contenido en el cono de luz delantero cerrado. ${\displaystyle \mathrm {Sp} (P)}$ ${\displaystyle P}$
• Existencia de un vector de vacío : Existe un vector cíclico e invariante de Poincaré . ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}}$

Las álgebras netas se denominan álgebras locales y el álgebra C* se denomina álgebra cuasilocal . ${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}}$

Formulación de teoría de categorías

Sea Mink la categoría de subconjuntos abiertos del espacio de Minkowski M con funciones de inclusión como morfismos . Se nos da un funtor covariante de Mink a uC*alg , la categoría de álgebras unitarias de C*, tal que cada morfismo en Mink se asigna a un monomorfismo en uC*alg ( isotonía ). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El grupo de Poincaré actúa continuamente sobre Mink . Existe un retroceso de esta acción , que es continuo en la topología normal de ( covarianza de Poincaré ). ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$

El espacio de Minkowski tiene una estructura causal . Si un conjunto abierto V se encuentra en el complemento causal de un conjunto abierto U , entonces la imagen de las funciones

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U,U\cup V})}$

y

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{V,U\cup V})}$

conmutatividad (conmutatividad espacial). Si es la completitud causal de un conjunto abierto U , entonces es un isomorfismo (causalidad primitiva). ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U,{\bar {U}}})}$

Un estado con respecto a un C*-álgebra es un funcional lineal positivo sobre él con norma unitaria . Si tenemos un estado sobre , podemos tomar la " traza parcial " para obtener los estados asociados con para cada conjunto abierto mediante el monomorfismo neto . Los estados sobre los conjuntos abiertos forman una estructura de prehaz . ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)}$

Según la construcción GNS , para cada estado, podemos asociar una representación espacial de Hilbert de Los estados puros corresponden a representaciones irreducibles y los estados mixtos corresponden a representaciones reducibles . Cada representación irreducible (hasta equivalencia ) se llama sector de superselección . Suponemos que hay un estado puro llamado vacío tal que el espacio de Hilbert asociado con él es una representación unitaria del grupo de Poincaré compatible con la covarianza de Poincaré de la red tal que si miramos el álgebra de Poincaré , el espectro con respecto a la energía-momento (correspondiente a las traslaciones del espacio-tiempo ) se encuentra sobre y en el cono de luz positivo . Este es el sector de vacío. ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M).}$

QFT en el espacio-tiempo curvo

Más recientemente, el enfoque se ha implementado aún más para incluir una versión algebraica de la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo . De hecho, el punto de vista de la física cuántica local es particularmente adecuado para generalizar el procedimiento de renormalización a la teoría de campos cuánticos desarrollada en fondos curvos. Se han obtenido varios resultados rigurosos sobre la teoría cuántica de campos en presencia de un agujero negro . ^{[ cita requerida ]}

Referencias

1. Baumgärtel, Hellmut (1995). Métodos operatoralgebraicos en la teoría cuántica de campos . Berlín: Akademie Verlag. ISBN 3-05-501655-6.

Lectura adicional

• Haag, Rudolf ; Kastler, Daniel (1964), "Un enfoque algebraico de la teoría cuántica de campos", Journal of Mathematical Physics , 5 (7): 848–861, Bibcode :1964JMP.....5..848H, doi :10.1063/1.1704187, ISSN  0022-2488, MR  0165864
• Haag, Rudolf (1996) [1992], Física cuántica local: campos, partículas, álgebras, física teórica y matemática (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-61458-3, ISBN 978-3-540-61451-7, Sr.  1405610
• Brunetti, Romeo; Fredenhagen, Klaus; Verch, Rainer (2003). "El principio de localidad generalmente covariante: un nuevo paradigma para la teoría cuántica de campos locales". Communications in Mathematical Physics . 237 (1–2): 31–68. arXiv : math-ph/0112041 . Bibcode :2003CMaPh.237...31B. doi :10.1007/s00220-003-0815-7. S2CID  13950246.
• Brunetti, Romeo; Dütsch, Michael; Fredenhagen, Klaus (2009). "Teoría cuántica de campos algebraicos perturbativos y grupos de renormalización". Avances en física teórica y matemática . 13 (5): 1541–1599. arXiv : 0901.2038 . doi :10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7. S2CID  15493763.
• Bär, Christian ; Fredenhagen, Klaus , eds. (2009). Teoría cuántica de campos en espacios-tiempos curvos: conceptos y fundamentos matemáticos. Apuntes de clases de física. Vol. 786. Springer. doi :10.1007/978-3-642-02780-2. ISBN 978-3-642-02780-2.
• Brunetti, Romeo; Dappiaggi, Claudio; Fredenhagen, Klaus ; Yngvason, Jakob , eds. (2015). Avances en la teoría cuántica algebraica de campos. Estudios de física matemática. Springer. doi :10.1007/978-3-319-21353-8. ISBN . 978-3-319-21353-8.
• Rejzner, Kasia (2016). Teoría cuántica de campos algebraicos perturbativos: una introducción para matemáticos. Estudios de física matemática. Springer. arXiv : 1208.1428 . Bibcode :2016paqf.book.....R. doi :10.1007/978-3-319-25901-7. ISBN 978-3-319-25901-7.
• Hack, Thomas-Paul (2016). Aplicaciones cosmológicas de la teoría cuántica algebraica de campos en espacios-tiempos curvos. SpringerBriefs in Mathematical Physics. Vol. 6. Springer. arXiv : 1506.01869 . Bibcode :2016caaq.book.....H. doi :10.1007/978-3-319-21894-6. ISBN 978-3-319-21894-6.S2CID119657309  .​
• Dütsch, Michael (2019). De la teoría clásica de campos a la teoría cuántica perturbativa de campos. Progreso en física matemática. Vol. 74. Birkhäuser. doi :10.1007/978-3-030-04738-2. ISBN 978-3-030-04738-2.S2CID126907045  .​
• Yau, Donald (2019). Teoría cuántica de campos homotópicos. World Scientific. arXiv : 1802.08101 . doi :10.1142/11626. ISBN. 978-981-121-287-1.S2CID119168109  .​
• Dedushenko, Mykola (2023). "Libro blanco de Snowmass: la búsqueda para definir QFT". Revista internacional de física moderna A . 38 (4n05). arXiv : 2203.08053 . doi :10.1142/S0217751X23300028. S2CID  247450696.

Enlaces externos

• Local Quantum Physics Crossroads 2.0: una red de científicos que trabajan en física cuántica local
• Artículos – Una base de datos de preimpresiones sobre QFT algebraica
• Teoría cuántica algebraica de campos (AQFT) Recursos de la Universidad de Hamburgo