Operador de cierre
En topología , un operador de preclausura u operador de clausura de Čech es una función entre subconjuntos de un conjunto, similar a un operador de clausura topológica , excepto que no se requiere que sea idempotente . Es decir, un operador de preclausura obedece solo a tres de los cuatro axiomas de clausura de Kuratowski .
Definición
Un operador de precierre en un conjunto es un mapa![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [\ \ ]_{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [\ \ ]_{p}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está el conjunto potencia de![{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El operador de precierre debe satisfacer las siguientes propiedades:
(Preservación de las uniones nulas );
(Extensividad);
(Preservación de uniones binarias).
El último axioma implica lo siguiente:
- 4. implica .
![{\displaystyle A\subseteq B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A]_{p}\subseteq [B]_{p}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Topología
Un conjunto es cerrado (con respecto a la preclausura) si . Un conjunto es abierto (con respecto a la preclausura) si su complemento es cerrado. La colección de todos los conjuntos abiertos generados por el operador de preclausura es una topología ; [1] sin embargo, la topología anterior no captura la noción de convergencia asociada al operador, en su lugar se debe considerar una pretopología . [2]![{\estilo de visualización A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A]_{p}=A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A=X\setmenos U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
Premétricas
Dado un premétrico en , entonces![{\estilo de visualización d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A]_{p}=\{x\en X:d(x,A)=0\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un cierre preventivo![{\estilo de visualización X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Espacios secuenciales
El operador de cierre secuencial es un operador de precierre. Dada una topología con respecto a la cual se define el operador de cierre secuencial, el espacio topológico es un espacio secuencial si y solo si la topología generada por es igual a , es decir, si![{\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {T}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}={\mathcal {T}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Véase también
Referencias
- ^ Eduard Čech, Zdeněk Frolík, Miroslav Katětov, Espacios topológicos Praga: Academia, Editorial de la Academia Checoslovaca de Ciencias, 1966, Teorema 14 A.9 [1].
- ^ S. Dolecki, Una iniciación en la teoría de la convergencia , en F. Mynard, E. Pearl (editores), Más allá de la topología , AMS, Contemporary Mathematics, 2009.
- AV Arkhangelskii, LSPontryagin, Topología general I , (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-18178-4 .
- B. Banascheski, Reconsideración del lema del punto fijo de Bourbaki, Comentario. Math. Univ. Carolinae 33 (1992), 303–309.