Operador de precierre

Operador de cierre

En topología , un operador de preclausura u operador de clausura de Čech es una función entre subconjuntos de un conjunto, similar a un operador de clausura topológica , excepto que no se requiere que sea idempotente . Es decir, un operador de preclausura obedece solo a tres de los cuatro axiomas de clausura de Kuratowski .

Definición

Un operador de precierre en un conjunto es un mapa ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [\ \ ]_{p}}$

${\displaystyle [\ \ ]_{p}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$

¿Dónde está el conjunto potencia de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$

El operador de precierre debe satisfacer las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle [\varnothing ]_{p}=\varnothing \!}$(Preservación de las uniones nulas );
2. ${\displaystyle A\subseteq [A]_{p}}$(Extensividad);
3. ${\displaystyle [A\cup B]_{p}=[A]_{p}\cup [B]_{p}}$(Preservación de uniones binarias).

El último axioma implica lo siguiente:

4. implica . ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle [A]_{p}\subseteq [B]_{p}}$

Topología

Un conjunto es cerrado (con respecto a la preclausura) si . Un conjunto es abierto (con respecto a la preclausura) si su complemento es cerrado. La colección de todos los conjuntos abiertos generados por el operador de preclausura es una topología ; ^[1] sin embargo, la topología anterior no captura la noción de convergencia asociada al operador, en su lugar se debe considerar una pretopología . ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [A]_{p}=A}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle A=X\setminus U}$

Ejemplos

Premétricas

Dado un premétrico en , entonces ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [A]_{p}=\{x\in X:d(x,A)=0\}}$

es un cierre preventivo ${\displaystyle X.}$

Espacios secuenciales

El operador de cierre secuencial es un operador de precierre. Dada una topología con respecto a la cual se define el operador de cierre secuencial, el espacio topológico es un espacio secuencial si y solo si la topología generada por es igual a , es decir, si ${\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}}$ ${\displaystyle [\ \ ]_{\text{seq}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{seq}}={\mathcal {T}}.}$

Véase también

• Eduard Čech

Referencias

1. Eduard Čech, Zdeněk Frolík, Miroslav Katětov, Espacios topológicos Praga: Academia, Editorial de la Academia Checoslovaca de Ciencias, 1966, Teorema 14 A.9 [1].
2. S. Dolecki, Una iniciación en la teoría de la convergencia , en F. Mynard, E. Pearl (editores), Más allá de la topología , AMS, Contemporary Mathematics, 2009.

• AV Arkhangelskii, LSPontryagin, Topología general I , (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN  3-540-18178-4 .
• B. Banascheski, Reconsideración del lema del punto fijo de Bourbaki, Comentario. Math. Univ. Carolinae 33 (1992), 303–309.