Matriz totalmente positiva

En matemáticas , una matriz totalmente positiva es una matriz cuadrada en la que todos los menores son positivos: es decir, el determinante de cada submatriz cuadrada es un número positivo. ^[1] Una matriz totalmente positiva tiene todas las entradas positivas, por lo que también es una matriz positiva ; y tiene todos los menores principales positivos (y valores propios positivos ). Por lo tanto, una matriz totalmente positiva simétrica también es definida positiva . Una matriz totalmente no negativa se define de manera similar, excepto que todos los menores deben ser no negativos (positivos o cero). Algunos autores usan "totalmente positiva" para incluir todas las matrices totalmente no negativas.

Definición

Sea una matriz n × n . Considérese cualquier submatriz p × p de la forma donde: ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}}$ ${\displaystyle p\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }}$

${\displaystyle 1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}<\ldots <j_{p}\leq n.}$

Entonces A es una matriz totalmente positiva si: ^[2]

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )>0}$

para todas las submatrices que se pueden formar de esta manera. ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Historia

Los temas que históricamente condujeron al desarrollo de la teoría de la positividad total incluyen el estudio de: ^[2]

• las propiedades espectrales de los núcleos y matrices que son totalmente positivas,
• ecuaciones diferenciales ordinarias cuya función de Green es totalmente positiva (por MG Kerin y algunos colegas a mediados de la década de 1930),
• las propiedades de disminución de la variación (iniciadas por IJ Schoenberg en 1930),
• Funciones de frecuencia de Pólya (por IJ Schoenberg a finales de la década de 1940 y principios de la de 1950).

Ejemplos

Por ejemplo, una matriz de Vandermonde cuyos nodos son positivos y crecientes es una matriz totalmente positiva.

Véase también

• Matriz compuesta

Referencias

1. George M. Phillips (2003), "Positividad total", Interpolación y aproximación por polinomios , Springer, pág. 274, ISBN 9780387002156
2. Propiedades espectrales de núcleos y matrices totalmente positivos, Allan Pinkus

Lectura adicional

• Allan Pinkus (2009), Matrices totalmente positivas , Cambridge University Press , ISBN 9780521194082

Enlaces externos

• Propiedades espectrales de núcleos y matrices totalmente positivos, Allan Pinkus
• Parametrizaciones de bases canónicas y matrices totalmente positivas, Arkady Berenstein
• Multiplicidades de productos tensoriales, bases canónicas y variedades totalmente positivas (2001), A. Berenstein, A. Zelevinsky