Solución de navegación por satélite

La solución de navegación por satélite para la posición del receptor ( geoposicionamiento ) implica un algoritmo. En esencia, un receptor GNSS mide el tiempo de transmisión de las señales GNSS emitidas desde cuatro o más satélites GNSS (dando lugar al pseudorango ) y estas mediciones se utilizan para obtener su posición (es decir, coordenadas espaciales ) y el tiempo de recepción.

Los siguientes se expresan en coordenadas del marco inercial .

La solución ilustrada

• 
  Esencialmente, la solución mostrada en naranja, , es la intersección de los conos de luz . ${\displaystyle \scriptstyle ({\hat {\boldsymbol {r}}}_{\text{rec}},\,{\hat {t}}_{\text{rec}})}$
• 
  La distribución posterior de la solución se deriva del producto de la distribución de superficies esféricas que se propagan. (Ver animación).

Pasos de cálculo

1. Un receptor del sistema global de navegación por satélite (GNSS) mide el tiempo de transmisión aparente, o "fase", de las señales GNSS emitidas desde cuatro o más satélites GNSS ( ), simultáneamente. ^[1] ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {t}}_{i}}$ ${\displaystyle \displaystyle i\;=\;1,\,2,\,3,\,4,\,..,\,n}$
2. Los satélites GNSS transmiten los mensajes de las efemérides de los satélites , y el sesgo intrínseco del reloj (es decir, el avance del reloj), ^{[ aclaración necesaria ]} como funciones del tiempo estándar ( atómico ) , por ejemplo, GPST . ^[2] ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}(t)}$ ${\displaystyle \displaystyle \delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t)}$
3. El tiempo de transmisión de las señales del satélite GNSS, , se deriva así de las ecuaciones de forma no cerrada y , donde es el sesgo del reloj relativista , que aumenta periódicamente a partir de la excentricidad orbital del satélite y el campo de gravedad de la Tierra . ^[2] La posición y la velocidad del satélite se determinan de la siguiente manera: y . ${\displaystyle \displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {t}}_{i}\;=\;t_{i}\,+\,\delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i})}$ ${\displaystyle \displaystyle \delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i})\;=\;\delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t_{i})\,+\,\delta t_{{\text{orbit-relativ}},\,i}({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i})}$ ${\displaystyle \displaystyle \delta t_{{\text{orbit-relativ}},i}({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i})}$ ${\displaystyle \displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}\;=\;{\boldsymbol {r}}_{i}(t_{i})}$ ${\displaystyle \displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}\;=\;{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}(t_{i})}$
4. En el campo de GNSS, "rango geométrico", , se define como un rango recto, o distancia tridimensional , ^[3] desde hasta en un marco inercial (por ejemplo, ECI ), no en un marco giratorio . ^[2] ${\displaystyle \displaystyle r({\boldsymbol {r}}_{A},\,{\boldsymbol {r}}_{B})}$ ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{A}}$ ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{B}}$
5. La posición del receptor, , y el tiempo de recepción, , satisfacen la ecuación del cono de luz de en el marco inercial , donde es la velocidad de la luz . El tiempo de vuelo de la señal desde el satélite hasta el receptor es . ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}}$ ${\displaystyle \displaystyle t_{\text{rec}}}$ ${\displaystyle \displaystyle r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})/c\,+\,(t_{i}-t_{\text{rec}})\;=\;0}$ ${\displaystyle \displaystyle c}$ ${\displaystyle \displaystyle -(t_{i}\,-\,t_{\text{rec}})}$
6. Lo anterior se extiende a la ecuación de posicionamiento de navegación por satélite , , donde es el retraso atmosférico (= retraso ionosférico + retraso troposférico ) a lo largo de la trayectoria de la señal y es el error de medición. ${\displaystyle \displaystyle r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})/c\,+\,(t_{i}\,-\,t_{\text{rec}})\,+\,\delta t_{{\text{atmos}},i}\,-\,\delta t_{{\text{meas-err}},i}\;=\;0}$ ${\displaystyle \displaystyle \delta t_{{\text{atmos}},i}}$ ${\displaystyle \displaystyle \delta t_{{\text{meas-err}},i}}$
7. El método de Gauss-Newton se puede utilizar para resolver el problema de mínimos cuadrados no lineales para la solución: , donde . Tenga en cuenta que debe considerarse como una función de y . ${\displaystyle \displaystyle ({\hat {\boldsymbol {r}}}_{\text{rec}},\,{\hat {t}}_{\text{rec}})\;=\;\arg \min \phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}})}$ ${\displaystyle \displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}})\;=\;\sum _{i=1}^{n}(\delta t_{{\text{meas-err}},i}/\sigma _{\delta t_{{\text{meas-err}},i}})^{2}}$ ${\displaystyle \displaystyle \delta t_{{\text{meas-err}},i}}$ ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}}$ ${\displaystyle \displaystyle t_{\text{rec}}}$
8. La distribución posterior de y es proporcional a , cuyo modo es . Su inferencia se formaliza como estimación máxima a posteriori . ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}}$ ${\displaystyle \displaystyle t_{\text{rec}}}$ ${\displaystyle \displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}}))}$ ${\displaystyle \displaystyle ({\hat {\boldsymbol {r}}}_{\text{rec}},\,{\hat {t}}_{\text{rec}})}$
9. La distribución posterior de es proporcional a . ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}}$ ${\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp(-{\frac {1}{2}}\phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}}))\,dt_{\text{rec}}}$

El estuche del GPS

• Para el Sistema de Posicionamiento Global (GPS), ^[2] las ecuaciones de forma no cerrada en el paso 3 dan como resultado

${\displaystyle \scriptstyle {\begin{cases}\scriptstyle \Delta t_{i}(t_{i},\,E_{i})\;\triangleq \;t_{i}\,+\,\delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i},\,E_{i})\,-\,{\tilde {t}}_{i}\;=\;0,\\\scriptstyle \Delta M_{i}(t_{i},\,E_{i})\;\triangleq \;M_{i}(t_{i})\,-\,(E_{i}\,-\,e_{i}\sin E_{i})\;=\;0,\end{cases}}}$

en la que es la anomalía excéntrica orbital del satélite , es la anomalía media , es la excentricidad , y . ${\displaystyle \scriptstyle E_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \scriptstyle M_{i}}$ ${\displaystyle \scriptstyle e_{i}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i},\,E_{i})\;=\;\delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t_{i})\,+\,\delta t_{{\text{orbit-relativ}},i}(E_{i})}$

• Lo anterior se puede resolver utilizando el método bivariado de Newton-Raphson en y . Dos iteraciones serán necesarias y suficientes en la mayoría de los casos. Su actualización iterativa se describirá utilizando la inversa aproximada de la matriz jacobiana de la siguiente manera: ${\displaystyle \scriptstyle t_{i}}$ ${\displaystyle \scriptstyle E_{i}}$

${\displaystyle \scriptstyle {\begin{pmatrix}t_{i}\\E_{i}\\\end{pmatrix}}\leftarrow {\begin{pmatrix}t_{i}\\E_{i}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&&0\\{\frac {{\dot {M}}_{i}(t_{i})}{1-e_{i}\cos E_{i}}}&&-{\frac {1}{1-e_{i}\cos E_{i}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Delta t_{i}\\\Delta M_{i}\\\end{pmatrix}}}$

• No se debe ignorar el retraso troposférico , ya que la especificación del Sistema de Posicionamiento Global (GPS) ^[2] no proporciona su descripción detallada.

El caso GLONASS

• Las efemérides GLONASS no proporcionan sesgos de reloj , pero . ${\displaystyle \scriptstyle \delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \delta t_{{\text{clock}},i}(t)}$

Véase también

• Es hora de hacer la primera corrección

Notas

• En el campo del GNSS, se denomina pseudorango , donde es un tiempo de recepción provisional del receptor. se denomina sesgo de reloj del receptor (es decir, avance del reloj). ^[1] ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {r}}_{i}\;=\;-c({\tilde {t}}_{i}\,-\,{\tilde {t}}_{\text{rec}})}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {t}}_{\text{rec}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \delta t_{\text{clock,rec}}\;=\;{\tilde {t}}_{\text{rec}}\,-\,t_{\text{rec}}}$
• Salida de receptores GNSS estándar y por época de observación . ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {r}}_{i}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\tilde {t}}_{\text{rec}}}$
• La variación temporal del sesgo del reloj relativista del satélite es lineal si su órbita es circular (y, por lo tanto, su velocidad es uniforme en el marco inercial).
• El tiempo de vuelo de la señal desde el satélite al receptor se expresa como , cuyo lado derecho es resistente al error de redondeo durante el cálculo. ${\displaystyle \scriptstyle -(t_{i}-t_{\text{rec}})\;=\;{\tilde {r}}_{i}/c\,+\,\delta t_{{\text{clock}},i}\,-\,\delta t_{\text{clock,rec}}}$
• El rango geométrico se calcula como , donde el marco giratorio centrado en la Tierra, fijo en la Tierra (ECEF) (por ejemplo, WGS84 o ITRF ) se utiliza en el lado derecho y es la matriz de rotación de la Tierra con el argumento del tiempo de tránsito de la señal . ^[2] La matriz se puede factorizar como . ${\displaystyle \scriptstyle r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})\;=\;|\Omega _{\text{E}}(t_{i}\,-\,t_{\text{rec}}){\boldsymbol {r}}_{i,{\text{ECEF}}}\,-\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}|}$ ${\displaystyle \scriptstyle \Omega _{\text{E}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \Omega _{\text{E}}(t_{i}\,-\,t_{\text{rec}})\;=\;\Omega _{\text{E}}(\delta t_{\text{clock,rec}})\Omega _{\text{E}}(-{\tilde {r}}_{i}/c\,-\,\delta t_{{\text{clock}},i})}$
• El vector unitario de línea de visión del satélite observado en se describe como: . ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {e}}_{i,{\text{rec,ECEF}}}\;=\;-{\frac {\partial r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})}{\partial {\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}}}}$
• La ecuación de posicionamiento de navegación por satélite se puede expresar utilizando las variables y . ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \delta t_{\text{clock,rec}}}$
• La no linealidad de la dependencia vertical del retraso troposférico degrada la eficiencia de convergencia en las iteraciones de Gauss-Newton en el paso 7.
• La notación anterior es diferente a la de los artículos de Wikipedia 'Introducción al cálculo de posición' y 'Cálculo de posición avanzado', del Sistema de Posicionamiento Global (GPS).

Véase también

• Dilución de la precisión (navegación)
• Sistema de Posicionamiento Global § Ecuaciones de navegación
• Ajuste de mínimos cuadrados
• Posicionamiento preciso de puntos
• Cinemática en tiempo real

Referencias

1. Misra, P. y Enge, P., Sistema de posicionamiento global: señales, mediciones y rendimiento, 2.º, Ganga-Jamuna Press, 2006.
2. La especificación de la interfaz del SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL NAVSTAR
3. La distancia tridimensional está dada por donde y se representa en el marco inercial . ${\displaystyle \displaystyle r({\boldsymbol {r}}_{A},\,{\boldsymbol {r}}_{B})=|{\boldsymbol {r}}_{A}-{\boldsymbol {r}}_{B}|={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}+(z_{A}-z_{B})^{2}}}}$ ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{A}=(x_{A},y_{A},z_{A})}$ ${\displaystyle \displaystyle {\boldsymbol {r}}_{B}=(x_{B},y_{B},z_{B})}$

Enlaces externos

• PVT (Posición, Velocidad, Tiempo): Procedimiento de cálculo en el GNSS-SDR de código abierto y el RTKLIB subyacente