Sistema por unidad

En el campo del análisis de sistemas de energía de la ingeniería eléctrica , un sistema por unidad es la expresión de cantidades del sistema como fracciones de una cantidad unitaria base definida. Los cálculos se simplifican porque las cantidades expresadas por unidad no cambian cuando se refieren de un lado al otro de un transformador. Esto puede ser una ventaja pronunciada en el análisis de sistemas de energía donde se pueden encontrar grandes cantidades de transformadores. Además, tipos similares de aparatos tendrán impedancias que se encuentran dentro de un rango numérico estrecho cuando se expresan como una fracción por unidad de la clasificación del equipo, incluso si el tamaño de la unidad varía ampliamente. La conversión de cantidades por unidad a voltios, ohmios o amperios requiere conocer la base a la que se hicieron referencia las cantidades por unidad. El sistema por unidad se utiliza en flujo de potencia , evaluación de cortocircuitos , estudios de arranque de motores , etc.

La idea principal de un sistema por unidad es absorber grandes diferencias en valores absolutos en relaciones base. Así, las representaciones de elementos del sistema con valores por unidad se vuelven más uniformes.

Un sistema por unidad proporciona unidades de potencia , voltaje , corriente , impedancia y admitancia . Con excepción de la impedancia y la admitancia, dos unidades cualesquiera son independientes y pueden seleccionarse como valores base; Por lo general, se eligen la potencia y el voltaje. Todas las cantidades se especifican como múltiplos de los valores base seleccionados. Por ejemplo, la potencia base podría ser la potencia nominal de un transformador , o quizás una potencia seleccionada arbitrariamente que haga que las cantidades de potencia en el sistema sean más convenientes. El voltaje base podría ser el voltaje nominal de un bus . Diferentes tipos de cantidades están etiquetadas con el mismo símbolo ( pu ); Debe quedar claro si la cantidad es un voltaje, una corriente u otra unidad de medida.

Objetivo

Hay varias razones para utilizar un sistema por unidad:

Aparatos similares (generadores, transformadores, líneas) tendrán impedancias y pérdidas por unidad similares expresadas en su propia clasificación, independientemente de su tamaño absoluto. Debido a esto, los datos por unidad se pueden verificar rápidamente para detectar errores graves. Vale la pena analizar un valor por unidad fuera del rango normal para detectar posibles errores.
Los fabricantes suelen especificar la impedancia del aparato en valores unitarios.
El uso de la constante se reduce en cálculos de tres fases. $\textstyle {\sqrt {3}}$
Las cantidades por unidad son las mismas en ambos lados de un transformador, independientemente del nivel de voltaje.
Al normalizar las cantidades a una base común, se simplifican los cálculos tanto manuales como automáticos.
Mejora la estabilidad numérica de los métodos de cálculo automático.
La representación de datos por unidad produce información importante sobre magnitudes relativas.

El sistema por unidad fue desarrollado para facilitar el análisis manual de sistemas de energía. Aunque el análisis del sistema eléctrico ahora se realiza por computadora, los resultados a menudo se expresan como valores por unidad sobre una base conveniente para todo el sistema.

Cantidades base

Generalmente se eligen valores base de potencia y voltaje. La potencia base puede ser la potencia nominal de un solo aparato, como un motor o un generador. Si se está estudiando un sistema, la potencia base generalmente se elige como un número redondo conveniente, como 10 MVA o 100 MVA. La tensión base se elige como la tensión nominal del sistema. Todas las demás cantidades base se derivan de estas dos cantidades base. Una vez que se eligen la potencia base y el voltaje base, la corriente base y la impedancia base están determinadas por las leyes naturales de los circuitos eléctricos. El valor base solo debe ser una magnitud, mientras que el valor por unidad es un fasor. Los ángulos de fase de potencia compleja, voltaje, corriente, impedancia, etc., no se ven afectados por la conversión a valores por unidad.

El propósito de utilizar un sistema por unidad es simplificar la conversión entre diferentes transformadores. Por lo tanto, es apropiado ilustrar los pasos para encontrar valores por unidad de voltaje e impedancia. Primero, deje que la potencia base ( S _base ) de cada extremo de un transformador sea la misma. Una vez que cada S se configura en la misma base, se puede obtener fácilmente el voltaje de base y la impedancia de base para cada transformador. Luego, los números reales de impedancias y voltajes se pueden sustituir en la definición del cálculo por unidad para obtener las respuestas para el sistema por unidad. Si se conocen los valores por unidad, los valores reales se pueden obtener multiplicando por los valores base.

Por convención, se adoptan las dos reglas siguientes para las cantidades base:

El valor de potencia base es el mismo para todo el sistema de energía en cuestión.
La relación de las bases de voltaje a cada lado de un transformador se selecciona para que sea la misma que la relación de las clasificaciones de voltaje del transformador.

Con estas dos reglas, una impedancia por unidad permanece sin cambios cuando se refiere de un lado al otro de un transformador. Esto permite eliminar el transformador ideal de un modelo de transformador.

Relación entre unidades

La relación entre unidades en un sistema por unidad depende de si el sistema es monofásico o trifásico .

Fase única

Suponiendo que los valores base independientes son potencia y voltaje, tenemos:

P_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

V_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

Alternativamente, el valor base de la potencia puede darse en términos de potencia reactiva o aparente , en cuyo caso tenemos, respectivamente,

Q_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

S_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

El resto de unidades se pueden derivar de potencia y voltaje utilizando las ecuaciones , , y ( ley de Ohm ), quedando representadas por . Tenemos: $S=IV$ $P=S\cos(\phi )$ $Q=S\sin(\phi )$ ${\underline {V}}={\underline {I}}{\underline {Z}}$ $Z$ ${\underline {Z}}=R+jX=Z\cos(\phi )+jZ\sin(\phi )$

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^ {2}}{I_{\text{base}}V_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}} }}=1{\text{pu}}

Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Tres fases

La potencia y el voltaje se especifican de la misma manera que los sistemas monofásicos. Sin embargo, debido a diferencias en lo que estos términos suelen representar en sistemas trifásicos, las relaciones para las unidades derivadas son diferentes. Específicamente, la potencia se proporciona como potencia total (no por fase) y el voltaje es voltaje de línea a línea. En sistemas trifásicos las ecuaciones y también se cumplen. La potencia aparente ahora es igual $P=S\cos(\phi )$ $Q=S\sin(\phi )$ $S$ $S_{\text{base}}={\sqrt {3}}V_{\text{base}}I_{\text{base}}$

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=1{\text{ pu}}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Ejemplo de por unidad

Como ejemplo de cómo se utiliza por unidad, considere un sistema de transmisión de energía trifásico que maneja potencias del orden de 500 MW y utiliza un voltaje nominal de 138 kV para la transmisión. Seleccionamos arbitrariamente y utilizamos el voltaje nominal 138 kV como voltaje base . Entonces tenemos: $S_{\mathrm {base} }=500\,\mathrm {MVA}$ $V_{\mathrm {base} }$

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=2.09\,\mathrm {kA}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=38.1\,\Omega

Y_{\mathrm {base} }={\frac {1}{Z_{\mathrm {base} }}}=26.3\,\mathrm {mS}

Si, por ejemplo, se mide que el voltaje real en uno de los buses es 136 kV, tenemos:

V_{\mathrm {pu} }={\frac {V}{V_{\mathrm {base} }}}={\frac {136\,\mathrm {kV} }{138\,\mathrm {kV} }}=0.9855\,\mathrm {pu}

Fórmulas del sistema por unidad

La siguiente tabulación de fórmulas de sistemas por unidad está adaptada del Manual de sistemas de energía industrial de Beeman .

en transformadores

Se puede demostrar que los voltajes, corrientes e impedancias en un sistema por unidad tendrán los mismos valores ya sea que se refieran al primario o al secundario de un transformador . ^[1]^{: 85}

Por ejemplo, para el voltaje, podemos demostrar que los voltajes por unidad de dos lados del transformador, el lado 1 y el lado 2, son iguales. Aquí, los voltajes por unidad de los dos lados son E _1pu y E _2pu respectivamente.

{\begin{aligned}E_{\text{1,pu}}&={\frac {E_{1}}{V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {E_{2}}{V_{\text{base2}}}}\\&=E_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}

(fuente: Conferencias sobre sistemas de energía Alexandra von Meier, UC Berkeley)

E ₁ y E ₂ son los voltajes de los lados 1 y 2 en voltios. N ₁ es el número de vueltas que tiene la bobina del lado 1. N ₂ es el número de vueltas que tiene la bobina del lado 2. V _base1 y V _base2 son los voltajes base en los lados 1 y 2.

V_{\text{base1}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}

Para la corriente, podemos demostrar que las corrientes por unidad de los dos lados son las mismas a continuación.

{\begin{aligned}I_{\text{1,pu}}&={\frac {I_{1}}{I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{base2}}}\\&={\frac {I_{2}}{I_{\text{base2}}}}\\&=I_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}

(fuente: Conferencias sobre sistemas de energía Alexandra von Meier, UC Berkeley)

donde I _1,pu y I _2,pu son las corrientes por unidad de los lados 1 y 2 respectivamente. En esto, las corrientes de base I _base1 y I _base2 están relacionadas de la manera opuesta a la que están relacionadas V _base1 y V _{base2 , en que}

{\begin{aligned}I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base1}}}{V_{\text{base1}}}}\\S_{\text{base1}}&=S_{\text{base2}}\\V_{\text{base2}}&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}V_{\text{base1}}\\I_{\text{base2}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{V_{\text{base2}}}}\\I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{\text{base2}}\\\end{aligned}}

La razón de esta relación es la conservación de energía.

S _base1 = S _base2

La pérdida de cobre a plena carga de un transformador en forma por unidad es igual al valor por unidad de su resistencia:

${\begin{aligned}P_{\text{cu,FL}}&={\text{full-load copper loss}}\\&=I_{R1}^{2}R_{eq1}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}P_{\text{cu,FL,pu}}&={\frac {P_{\text{cu,FL}}}{P_{\text{base}}}}\\&={\frac {I_{R1}^{2}R_{eq1}}{V_{R1}I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{V_{R1}/I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{Z_{B1}}}\\&=R_{\text{eq1,pu}}\\\end{aligned}}$

Por lo tanto, puede ser más útil expresar la resistencia en forma por unidad, ya que también representa la pérdida de cobre a plena carga. ^[1]^{: 86}

Como se indicó anteriormente, hay dos grados de libertad dentro del sistema por unidad que permiten al ingeniero especificar cualquier sistema por unidad. Los grados de libertad son la elección del voltaje base ( V _base ) y la potencia base ( S _base ). Por convención, se elige una única potencia de base ( _baseS ) para ambos lados del transformador y su valor es igual a la potencia nominal del transformador. Por convención, en realidad se eligen dos voltajes de base diferentes, V _base1 y V _base2 , que son iguales a los voltajes nominales para cada lado del transformador. Al elegir las cantidades base de esta manera, el transformador se puede retirar efectivamente del circuito como se describe anteriormente. Por ejemplo:

Tome un transformador de 10 kVA y 240/100 V. El lado secundario tiene una impedancia igual a 1∠0° Ω. La impedancia base en el lado secundario es igual a:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,2}}&={\frac {V_{\text{base,2}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(100{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{1 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Esto significa que la impedancia por unidad en el lado secundario es 1∠0° Ω / 1 Ω = 1∠0° pu Cuando esta impedancia se refiere al otro lado, la impedancia se convierte en:

${\begin{aligned}Z_{2}&=\left({\frac {240}{100}}\right)^{2}\times {\text{1∠0° }}\Omega \\&={\text{5.76∠0° }}\Omega \\\end{aligned}}$

La impedancia base para el lado primario se calcula de la misma manera que para el secundario:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,1}}&={\frac {V_{\text{base,1}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(240{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{5.76 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Esto significa que la impedancia por unidad es 5,76∠0° Ω / 5,76 Ω = 1∠0° pu, que es la misma que cuando se calcula desde el otro lado del transformador, como sería de esperar.

Otra herramienta útil para analizar transformadores es tener la fórmula de cambio de base que le permite al ingeniero pasar de una impedancia base con un conjunto de voltaje base y potencia base a otra impedancia base para un conjunto diferente de voltaje base y potencia base. Esto resulta especialmente útil en aplicaciones de la vida real donde un transformador con un voltaje del lado secundario de 1,2 kV podría conectarse al lado primario de otro transformador cuyo voltaje nominal es de 1 kV. La fórmula es la que se muestra a continuación.

${\begin{aligned}Z_{\text{pu,new}}&=Z_{\text{pu,old}}\times {\frac {Z_{\text{base,old}}}{Z_{\text{base,new}}}}=Z_{\text{pu,old}}\times \left({\frac {V_{\text{base,old}}}{V_{\text{base,new}}}}\right)^{2}\times \left({\frac {S_{\text{base,new}}}{S_{\text{base,old}}}}\right)\\\end{aligned}}$

Referencias

^ a b Sen, PC (1997). Principios de máquinas eléctricas y electrónica de potencia . Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-02295-4.

Beeman, Donald (1955). "Procedimientos de cálculo de corriente de cortocircuito". En Beeman, Donald (ed.). Manual de sistemas de energía industriales . McGraw-Hill. págs. ver esp. 38–41, 52–55. ISBN 9780070043015.
Elgerd, Olle I. (2007). "§2.5 Representación por unidad de impedancias, corrientes, voltajes y potencias". Teoría de los sistemas de energía eléctrica: una introducción (1971, 1ª ed.). Tata McGraw-Hill. págs. 35–39. ISBN 978-0070192300.
Yuen, Moon H. (marzo-abril de 1974). "ABC de circuito corto: apréndalo en una hora, úselo en cualquier lugar, no memorice ninguna fórmula". Transacciones IEEE sobre aplicaciones industriales . IA-10 (2): 261–272. doi :10.1109/TIA.1974.349143.
William D. Jr., Stevenson (1975). Elementos del análisis de sistemas de potencia (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-061285-4.
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