Polinomios de Shapiro

En matemáticas, los polinomios de Shapiro son una secuencia de polinomios que fueron estudiados por primera vez por Harold S. Shapiro en 1951 al considerar la magnitud de sumas trigonométricas específicas . ^[1] En el procesamiento de señales , los polinomios de Shapiro tienen buenas propiedades de autocorrelación y sus valores en el círculo unitario son pequeños. ^[2] Los primeros miembros de la secuencia son:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7}\\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+x-x^{2}+x^{3}\\Q_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\\...\\\end{aligned}}}$

donde se dice que la segunda secuencia, indicada por Q , es complementaria a la primera secuencia, indicada por P .

Construcción

Los polinomios de Shapiro P _n ( z ) pueden construirse a partir de la sucesión de Golay–Rudin–Shapiro a _n , que es igual a 1 si el número de pares de unos consecutivos en la expansión binaria de n es par, y −1 en caso contrario. Así, a ₀  = 1, a ₁  = 1, a ₂  = 1, a ₃  = −1, etc.

La primera P de Shapiro _n ( z ) es la suma parcial de orden 2 ⁿ  − 1 (donde n  = 0, 1, 2, ...) de la serie de potencias

f ( z ) := a ₀ + a ₁  z + a ₂  z ² + ...

La secuencia de Golay–Rudin–Shapiro { a _n } tiene una estructura de tipo fractal –por ejemplo, a _n  =  a _{2 n–} , lo que implica que la subsecuencia ( a ₀ ,  a ₂ ,  a ₄ , ...) replica la secuencia original { a _n }. Esto a su vez conduce a notables ecuaciones funcionales satisfechas por f ( z ).

Los segundos o complementarios polinomios de Shapiro Q _n ( z ) pueden definirse en términos de esta secuencia, o por la relación Q _n ( z ) = (1-) ⁿ z ^{2 n -1} P _n (-1/ z ), o por las recursiones

${\displaystyle P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;}$

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z);}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z).}$

Propiedades

Ceros del polinomio de grado 255

La secuencia de polinomios complementarios Q _n correspondiente a P _n se caracteriza únicamente por las siguientes propiedades:

• (i) Q _n es de grado 2 ⁿ − 1;
• (ii) los coeficientes de Q _n son todos 1 o −1, y su término constante es igual a 1; y
• (iii) la identidad | P _n ( z )| ² + | Q _n ( z )| ² = 2 ^{( n  + 1)} se cumple en el círculo unitario, donde la variable compleja z tiene valor absoluto uno.

La propiedad más interesante de { P _n } es que el valor absoluto de P _n ( z ) está acotado en el círculo unitario por la raíz cuadrada de 2 ^{( n  + 1)} , que está en el orden de la norma L 2 de P _n . Los polinomios con coeficientes del conjunto {−1, 1} cuyo módulo máximo en el círculo unitario está cerca de su módulo medio son útiles para varias aplicaciones en la teoría de la comunicación (por ejemplo, diseño de antenas y compresión de datos ). La propiedad (iii) muestra que ( P ,  Q ) forman un par de Golay .

Estos polinomios tienen otras propiedades: ^[3]

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};\,}$

${\displaystyle P_{n+k+1}(z)=P_{n}(z)P_{k}(z^{2^{n+1}})+z^{2^{n}}Q_{n}(z)P_{k}(-z^{2^{n+1}});\,}$

${\displaystyle P_{n}(1)=2^{\lfloor (n+1)/2\rfloor };{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^{n})2^{\lfloor n/2\rfloor -1}.\,}$

Véase también

• Polinomios de Littlewood

Notas

1. John Brillhart y L. Carlitz (mayo de 1970). "Nota sobre los polinomios de Shapiro". Actas de la American Mathematical Society . 25 (1). Actas de la American Mathematical Society, vol. 25, núm. 1: 114–118. doi : 10.2307/2036537 . JSTOR  2036537.
2. Somaini, U. (26 de junio de 1975). "Secuencias binarias con buenas propiedades de correlación". Electronics Letters . 11 (13): 278–279. Código Bibliográfico :1975ElL....11..278S. doi :10.1049/el:19750211. Archivado desde el original el 26 de febrero de 2019.
3. J. Brillhart; JS Lomont; P. Morton (1976). "Propiedades ciclotómicas de los polinomios de Rudin-Shapiro". J. Reine Angew. Matemáticas. 288 : 37–65.

Referencias

• Borwein, Peter B (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números. Springer. ISBN 978-0-387-95444-8. Consultado el 30 de marzo de 2007 .Capítulo 4.
• Mendès France, Michel (1990). "La sucesión de Rudin-Shapiro, la cadena de Ising y el plegado de papel". En Berndt, Bruce C .; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini ; et al. (eds.). Teoría analítica de números. Actas de una conferencia en honor de Paul T. Bateman, celebrada del 25 al 27 de abril de 1989 en la Universidad de Illinois, Urbana, IL (EE. UU.) . Progress in Mathematics. Vol. 85. Boston: Birkhäuser. págs. 367–390. ISBN. 978-0-8176-3481-0.Zbl 0724.11010  .