Polinomios de Appell generalizados

En matemáticas , una secuencia polinómica tiene una representación de Appell generalizada si la función generadora de los polinomios toma una forma determinada: ${\displaystyle \{p_{n}(z)\}}$

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

donde la función generadora o núcleo está compuesta por la serie ${\displaystyle K(z,w)}$

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad }$con ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$

y

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad }$y todo ${\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}$

y

${\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad }$con ${\displaystyle g_{1}\neq 0.}$

Dado lo anterior, no es difícil demostrar que es un polinomio de grado . ${\displaystyle p_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$

Los polinomios de Boas-Buck son una clase de polinomios ligeramente más general.

Casos especiales

• La elección de da la clase de polinomios de Brenke . ${\displaystyle g(w)=w}$
• La elección de los resultados en la secuencia de polinomios de Sheffer, que incluyen los polinomios de diferencia general , como los polinomios de Newton . ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$
• La elección combinada de y da la secuencia de polinomios de Appell . ${\displaystyle g(w)=w}$ ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$

Representación explícita

Los polinomios de Appell generalizados tienen la representación explícita

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}$

La constante es

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}$

donde esta suma se extiende sobre todas las composiciones de en partes; es decir, la suma se extiende sobre todas las composiciones tales que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \{j\}}$

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

Para los polinomios de Appell, esto se convierte en la fórmula

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.}$

Relación de recursión

De manera equivalente, una condición necesaria y suficiente para que el núcleo pueda escribirse como con es que ${\displaystyle K(z,w)}$ ${\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}$ ${\displaystyle g_{1}=1}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}$

donde y tienen la serie de potencias ${\displaystyle b(w)}$ ${\displaystyle c(w)}$

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$

y

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.}$

Sustituyendo

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

da inmediatamente la relación de recursión

${\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}$

Para el caso especial de los polinomios de Brenke, se tiene y por lo tanto todos los , simplificando significativamente la relación de recursión. ${\displaystyle g(w)=w}$ ${\displaystyle b_{n}=0}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• polinomios de diferencia q

Referencias

• Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck, Expansiones polinomiales de funciones analíticas (segunda edición corregida) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Número de tarjeta de la Biblioteca del Congreso 63-23263.
• Brenke, William C. (1945). "Sobre funciones generadoras de sistemas polinómicos". American Mathematical Monthly . 52 (6): 297–301. doi :10.2307/2305289.
• Huff, WN (1947). "El tipo de polinomios generados por f(xt) φ(t)". ​​Duke Mathematical Journal . 14 (4): 1091–1104. doi :10.1215/S0012-7094-47-01483-X.