Politopo de Newton

En matemáticas, el politopo de Newton es un politopo integral asociado a un polinomio multivariado . Se puede utilizar para analizar el comportamiento del polinomio cuando variables específicas se consideran insignificantes en relación con las demás. Específicamente, dado un vector de variables y una familia finita de vectores distintos por pares de cada uno de los cuales codifica los exponentes dentro de un monomio, considere el polinomio multivariado ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle (\mathbf {a} _{k})_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{k}c_{k}\mathbf {x} ^{\mathbf {a} _{k}}}$

donde usamos la notación abreviada para el monomio . Entonces el politopo de Newton asociado es la cáscara convexa de los vectores ; eso es ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})^{(y_{1},\ldots ,y_{n})}}$ ${\displaystyle x_{1}^{y_{1}}x_{2}^{y_{2}}\cdots x_{n}^{y_{n}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Newt} (f)=\left\{\sum _{k}\alpha _{k}\mathbf {a} _{k}:\sum _{k}\alpha _{k}=1\;\&\;\forall j\,\,\alpha _{j}\geq 0\right\}\!.}$

Para que esto esté bien definido, asumimos que todos los coeficientes son distintos de cero. El politopo de Newton satisface la siguiente propiedad de tipo homomorfismo: ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle \operatorname {Newt} (fg)=\operatorname {Newt} (f)+\operatorname {Newt} (g)}$

donde la suma es en el sentido de Minkowski .

Los politopos de Newton son el objeto central de estudio de la geometría tropical y caracterizan las bases de Gröbner para un ideal .

Ver también

• Variedades tóricas
• Esquema Hilbert

Fuentes

• Sturmfels, Bernd (1996). "2. El politopo del Estado". Bases de Gröbner y politopos convexos . Ciclo de conferencias universitarias. vol. 8. Providencia, Rhode Island: AMS. ISBN 0-8218-0487-1.
• Mónica, Cara; Tokcán, Neriman; Yong, Alejandro (2019). "Politopos de Newton en combinatoria algebraica". Selecta Matemática . Series nuevas. 25 (5): 66. arXiv : 1703.02583 . doi : 10.1007/s00029-019-0513-8 . S2CID  53639491.
• Shiffman, Bernard; Zelditch, Steve (18 de septiembre de 2003). "Polinomios aleatorios con politopos de Newton prescritos". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 17 (1): 49-108. doi : 10.1090/S0894-0347-03-00437-5 . S2CID  14886953.

enlaces externos

• Vinculación de bases de Groebner y variedades tóricas
• Rossi, Michele; Terracini, Lea (2020). "Variedades tóricas y bases de Gröbner: el caso Q-factorial completo". Álgebra Aplicable en Ingeniería, Comunicaciones y Computación . 31 (5–6): 461–482. arXiv : 2004.05092 . doi : 10.1007/s00200-020-00452-w .