En geometría , un politopo monoestático (o poliedro unistable ) es un politopo d que "puede apoyarse en una sola cara". Fueron descritos en 1969 por J. H. Conway , M. Goldberg, R. K. Guy y K. C. Knowlton . El politopo monoestático en 3 espacios construido independientemente por Guy y Knowlton tiene 19 caras . En 2012, Andras Bezdek descubrió una solución de 18 caras [1] y en 2014, Alex Reshetov publicó un objeto de 14 caras. [2]
Modelo 3D del poliedro monoestático de R. K. GuyModelo 3D del poliedro monoestático de Reshetov
Definición
Un politopo se llama monoestático si, cuando se llena de forma homogénea, es estable en una sola faceta . Alternativamente, un politopo es monoestático si su centroide (el centro de masa ) tiene una proyección ortogonal en el interior de una sola faceta.
No hay simples monoestáticos en la dimensión hasta 8. En la dimensión 3 esto se debe a Conway. En dimensión hasta 6 esto se debe a R. J. M. Dawson. Las dimensiones 7 y 8 fueron descartadas por R. J. M. Dawson, W. Finbow y P. Mak.
(R. J. M. Dawson) Existen simples monoestáticos en dimensión 10 y superiores.
(Lángi) Hay politopos monoestáticos en dimensión 3 cuyas formas son arbitrariamente cercanas a una esfera.
(Lángi) Hay politopos monoestáticos en dimensión 3 con simetría rotacional k veces para un entero positivo arbitrario k.
^ Bezdek, András. "Estabilidad de los poliedros" (PDF) . Consultado el 9 de julio de 2018 .
^ Reshetov, Alexander (13 de mayo de 2014), "Un poliedro unistable con 14 caras", Revista internacional de aplicaciones y geometría computacional , 24 (1): 39–59, doi :10.1142/S0218195914500022
J. H. Conway , M. Goldberg y R. K. Guy , Problema 66-12, SIAM Review 11 (1969), 78–82.
K. C. Knowlton , Un poliedro unistable con sólo 19 caras, Bell Telephone Laboratories MM 69-1371-3 (3 de enero de 1969).
H. Croft, K. Falconer y R. K. Guy, Problema B12 en Problemas no resueltos de geometría , Nueva York: Springer-Verlag, p. 61, 1991.
R. J. M. Dawson, Simplex monostáticos. América. Matemáticas. Mensual 92 (1985), núm. 8, 541–546.
R. J. M. Dawson, W. Finbow, P. Mak, Simplex monostáticos. II. Geom. Dedicata 70 (1998), 209–219.
R. J. M. Dawson, W. Finbow, Simplex monostáticos. III. Geom. Dedicata 84 (2001), 101-113.
Z. Lángi, Una solución a algunos problemas de Conway y Guy sobre poliedros monoestables, Bull. Londres. Matemáticas. Soc. 54 (2022), núm. 2, 501–516.
Igor Pak , Conferencias sobre geometría discreta y poliédrica , Sección 9.
A. Reshetov, Un poliedro unistable de 14 caras. En t. J. Computación. Geom. Aplica. 24 (2014), 39–60.
