En matemáticas , y en particular en álgebra universal , el concepto de grupo n -ario (también llamado grupo n o grupo multiario ) es una generalización del concepto de grupo a un conjunto G con una operación n -aria en lugar de una operación binaria. [1] Por operación n -aria se entiende cualquier función f: G n → G de la n -ésima potencia cartesiana de G a G . Los axiomas para un grupo n - ario se definen de tal manera que se reducen a los de un grupo en el caso n = 2 . El primer trabajo sobre estas estructuras fue realizado en 1904 por Kasner y en 1928 por Dörnte; [2] la primera explicación sistemática de (lo que entonces se llamaban) grupos poliádicos fue dada en 1940 por Emil Leon Post en un famoso artículo de 143 páginas en las Transactions of the American Mathematical Society . [3]
El axioma más fácil de generalizar es la ley asociativa. La asociatividad ternaria es la identidad polinómica ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , es decir, la igualdad de los tres corchetes posibles de la cadena abcde en la que se encuentran entre corchetes tres símbolos consecutivos cualesquiera. (Aquí se entiende que las ecuaciones se cumplen para todas las elecciones de elementos a , b , c , d , e en G .) En general, la asociatividad n -aria es la igualdad de los n corchetes posibles de una cadena que consta de n + ( n − 1) = 2 n − 1 símbolos distintos con cualesquiera n símbolos consecutivos entre corchetes. Un conjunto G que está cerrado bajo una operación asociativa n -aria se denomina semigrupo n -ario. Un conjunto G que está cerrado bajo cualquier operación n -aria (no necesariamente asociativa) se denomina grupoide n -ario .
El axioma inverso se generaliza de la siguiente manera: en el caso de operaciones binarias, la existencia de una inversa significa que ax = b tiene una solución única para x , y, del mismo modo, xa = b tiene una solución única. En el caso ternario, generalizamos esto a abx = c , axb = c y xab = c, cada uno con soluciones únicas, y el caso n -ario sigue un patrón similar de existencia de soluciones únicas y obtenemos un cuasigrupo n -ario.
Un grupo n -ario es un semigrupo n -ario que también es un cuasigrupo n -ario .
Post presentó un teorema de estructura para un grupo n -ario en términos de un grupo asociado. [3] : 245-246
En el caso 2-ario , puede haber cero o un elemento identidad: el conjunto vacío es un grupo 2-ario, ya que el conjunto vacío es a la vez un semigrupo y un cuasigrupo, y todo grupo 2-ario habitado es un grupo. En los grupos n -arios para n ≥ 3 puede haber cero, uno o muchos elementos identidad.
Un grupoide n -ario ( G , f ) con f = ( x 1 ◦ x 2 ◦ ⋯ ◦ x n ) , donde ( G , ◦) es un grupo se llama reducible o derivado del grupo ( G , ◦). En 1928 Dörnte [2] publicó los primeros resultados principales: Un grupoide n -ario que es reducible es un grupo n -ario , sin embargo para todo n > 2 existen grupos n -arios habitados que no son reducibles. En algunos grupos n -arios existe un elemento e (llamado identidad n -aria o elemento neutro) tal que cualquier cadena de n -elementos que consiste en todos los e 's, excepto un lugar, se asigna al elemento en ese lugar. Por ejemplo, en un grupo cuaternario con identidad e , eeae = a para todo a .
Un grupo n -ario que contiene un elemento neutro es reducible. Por lo tanto, un grupo n -ario que no es reducible no contiene tales elementos. Existen grupos n -arios con más de un elemento neutro. Si el conjunto de todos los elementos neutros de un grupo n -ario no está vacío, forma un subgrupo n -ario . [4]
Algunos autores incluyen una identidad en la definición de un grupo n -ario , pero como se mencionó anteriormente, dichas operaciones n -arias son simplemente operaciones binarias repetidas. Los grupos con operaciones intrínsecamente n -arias no tienen un elemento identidad. [5]
Los axiomas de asociatividad y soluciones únicas en la definición de un grupo n -ario son más fuertes de lo que deberían ser. Bajo el supuesto de asociatividad n -aria , basta con postular la existencia de la solución de ecuaciones con la incógnita al principio o al final de la cadena, o en un lugar distinto de los extremos; por ejemplo, en el caso 6-ario , xabcde = f y abcdex = f , o una expresión como abxcde = f . Entonces se puede demostrar que la ecuación tiene una solución única para x en cualquier lugar de la cadena. [3] El axioma de asociatividad también se puede dar en una forma más débil. [1] : 17
El siguiente es un ejemplo de un grupo ternario de tres elementos, uno de cuatro grupos de este tipo [6]
El concepto de un grupo n -ario puede generalizarse aún más al de un ( n , m )-grupo , también conocido como un grupo de valor vectorial , que es un conjunto G con una función f : G n → G m donde n > m , sujeto a axiomas similares a los de un grupo n -ario excepto que el resultado de la función es una palabra que consta de m letras en lugar de una sola letra. Por lo tanto, un ( n ,1)-grupo es un grupo n -ario . Los ( n , m )-grupos fueron introducidos por G. Ĉupona en 1983. [7]
