Plantilla de cinco puntos

Un punto y sus cuatro vecinos más cercanos

Una ilustración de la plantilla de cinco puntos en una y dos dimensiones (arriba y abajo, respectivamente).

En el análisis numérico , dada una cuadrícula cuadrada en una o dos dimensiones, la plantilla de cinco puntos de un punto en la cuadrícula es una plantilla formada por el propio punto junto con sus cuatro "vecinos". Se utiliza para escribir aproximaciones de diferencias finitas a derivadas en puntos de la cuadrícula. Es un ejemplo de diferenciación numérica .

En una dimensión

En una dimensión, si el espaciado entre puntos en la cuadrícula es h , entonces la plantilla de cinco puntos de un punto x en la cuadrícula es

$${\displaystyle \{x-2h,x-h,x,x+h,x+2h\}.}$$

Primera derivada unidimensional

La primera derivada de una función f de una variable real en un punto x se puede aproximar utilizando una plantilla de cinco puntos como: ^[1]

$${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}}$$

El punto central f ( x ) en sí no está involucrado, sólo los cuatro puntos vecinos.

Derivación

Esta fórmula se puede obtener escribiendo las cuatro series de Taylor de f ( x  ±  h ) y f ( x  ± 2 h ) hasta términos de h ³ (o hasta términos de h ⁵ para obtener también una estimación del error) y resolviendo este sistema de cuatro ecuaciones para obtener f  ′( x ). En realidad, tenemos en los puntos x  +  h y x  −  h :

$${\displaystyle f(x\pm h)=f(x)\pm hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)\pm {\frac {h^{3}}{6}}f^{(3)}(x)+O_{1\pm }(h^{4}).\qquad (E_{1\pm }).}$$

Evaluar nos da ${\displaystyle (E_{1+})-(E_{1-})}$

$${\displaystyle f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+{\frac {h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{1}(h^{4}).\qquad (E_{1}).}$$

El término residual O ₁ ( h ⁴ ) debería ser del orden de h ⁵ en lugar de h ⁴ porque si los términos de h ⁴ se hubieran escrito en ( E ₁₊ ) y ( E ₁₋ ), se puede ver que se habrían cancelado entre sí por f ( x + h ) − f ( x − h ) . Pero para este cálculo, se deja así ya que el orden de estimación del error no se trata aquí (véase más abajo).

De manera similar, tenemos

$${\displaystyle f(x\pm 2h)=f(x)\pm 2hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)\pm {\frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm }(h^{4}).\qquad (E_{2\pm })}$$

y nos da ${\displaystyle (E_{2+})-(E_{2-})}$

$${\displaystyle f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{\frac {8h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{2}(h^{4}).\qquad (E_{2}).}$$

Para eliminar los términos de ƒ ⁽³⁾ ( x ), calcule 8 × ( E ₁ ) − ( E ₂ )

$${\displaystyle 8f(x+h)-8f(x-h)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{4})}$$

obteniéndose así la fórmula anterior. Nota: los coeficientes de f en esta fórmula, (8, -8, -1,1), representan un ejemplo específico del filtro Savitzky–Golay más general .

Estimación de error

El error en esta aproximación es del orden de h  ⁴ . Esto se puede ver en la expansión ^[2]

$${\displaystyle {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}=f'(x)-{\frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})}$$

que se puede obtener expandiendo el lado izquierdo en una serie de Taylor . Alternativamente, aplique la extrapolación de Richardson a la aproximación de diferencia central en cuadrículas con espaciamiento 2 h y h . ${\displaystyle f'(x)}$

Derivadas de orden superior 1D

Las fórmulas de diferencia centrada para plantillas de cinco puntos que aproximan las derivadas segunda, tercera y cuarta son

$${\displaystyle {\begin{aligned}f''(x)&\approx {\frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^{2}}}\\[1ex]f^{(3)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}\\[1ex]f^{(4)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^{4}}}\end{aligned}}}$$

Los errores en estas aproximaciones son O ( h ⁴ ), O ( h ² ) y O ( h ² ) respectivamente. ^[2]

Relación con los polinomios de interpolación de Lagrange

Como alternativa a la derivación de los pesos de diferencias finitas a partir de la serie de Taylor, se pueden obtener diferenciando los polinomios de Lagrange.

$${\displaystyle \ell _{j}(\xi )=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {\xi -x_{i}}{x_{j}-x_{i}}},}$$

donde están los puntos de interpolación

$${\displaystyle x_{0}=x-2h,\quad x_{1}=x-h,\quad x_{2}=x,\quad x_{3}=x+h,\quad x_{4}=x+2h.}$$

Entonces, el polinomio cuártico que interpola f ( x ) en estos cinco puntos es ${\displaystyle p_{4}(x)}$

$${\displaystyle p_{4}(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell _{j}(x)}$$

y su derivada es

$${\displaystyle p_{4}'(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell '_{j}(x).}$$

Por lo tanto, la aproximación de diferencias finitas de f  ′( x ) en el punto medio x = x ₂ es

$${\displaystyle f'(x_{2})=\ell _{0}'(x_{2})f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+\ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})}$$

La evaluación de las derivadas de los cinco polinomios de Lagrange en x = x ₂ da los mismos pesos que antes. Este método puede ser más flexible, ya que la extensión a una cuadrícula no uniforme es bastante sencilla.

En dos dimensiones

En dos dimensiones, si por ejemplo el tamaño de los cuadrados en la cuadrícula es h por h , la plantilla de cinco puntos de un punto ( x ,  y ) en la cuadrícula es

$${\displaystyle \{(x-h,y),(x,y),(x+h,y),(x,y-h),(x,y+h)\},}$$

formando un patrón que también se denomina quincuncio . Esta plantilla se utiliza a menudo para aproximar el laplaciano de una función de dos variables:

$${\displaystyle \nabla ^{2}f(x,y)\approx {\frac {f(x-h,y)+f(x+h,y)+f(x,y-h)+f(x,y+h)-4f(x,y)}{h^{2}}}.}$$

El error en esta aproximación es O ( h  ² ), ^[3] que puede explicarse de la siguiente manera:

A partir de las plantillas de 3 puntos para la segunda derivada de una función con respecto a x e y:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&={\frac {f\left(x+\Delta x,y\right)+f\left(x-\Delta x,y\right)-2f(x,y)}{\Delta x^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta x^{2}+\cdots \\[1ex]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&={\frac {f\left(x,y+\Delta y\right)+f\left(x,y-\Delta y\right)-2f(x,y)}{\Delta y^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

Si asumimos : ${\displaystyle \Delta x=\Delta y=h}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}f&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+\cdots \\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\\\end{aligned}}}$$

Véase también

• Coeficiente de diferencia finita  : coeficiente utilizado en la aproximación numérica
• Bucles de plantilla iterativos  : una clase de algoritmosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Plantilla de nueve puntos
• Plantilla (análisis numérico)
• Salto con plantilla

Referencias

1. Sauer, Timothy (2012). Análisis numérico . Pearson. pág. 250. ISBN. 978-0-321-78367-7.
2. Abramowitz y Stegun, Tabla 25.2
3. Abramowitz y Stegun, 25.3.30

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1970), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , Dover. Novena impresión. Tabla 25.2.